Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de
, de uma distribuição normal, é dado por:
Obtenha
.
Passo 1
Beleza, aqui a parada é o seguinte:
- Enunciado resumido: a gente tem o estimador de máxima verossimilhança para a variância de uma normal,
O que pedem é achar a esperança desse estimador, isto é,.
- Conteúdo envolvido: distribuições normais, estimadores, esperança e variância de variáveis aleatórias, e uso de propriedades de esperança (linearidade) e da definição de variância .
- O que vamos precisar:
1) A linha do cálculo deusando a forma equivalente
- Saber
e .
- Saber
Passo 2
Primeiro, escreve a esperança do estimador usando a fórmula acima:
Aqui usei a linearidade de
:
.
Passo 3
Agora a gente precisa de duas coisas:
-
. -
.
Lembra que pra qualquer variável
,
Passo 4
Como
, vale
-
, - .
Logo
Já para
, sabemos
-
, - .
Então
Passo 5
Volta na soma do Passo 2:
Então
Dividindo por
, a esperança do estimador vira