Vimos que o estimador de máxima verossimilhança de sigma^2, de uma distribuição normal, é dado por:
sigma^2=sumi=1^n(Xi-barX)^2n ou sigma^2=1n(sumi=1^n Xi^2-n barX^2)
Obtenha E(sigma^2).

Passo 1

Beleza, aqui a parada é o seguinte:
  • Enunciado resumido: a gente tem o estimador de máxima verossimilhança para a variância de uma normal, sigma^2 = 1nsumi=1^nl(Xi - bar Xr)^2,
    O que pedem é achar a esperança desse estimador, isto é, sumi=1^nl(Xi - bar Xr)^2 ;=;sumi=1^n Xi^2 ;-;n,bar X^2.
    - Conteúdo envolvido: distribuições normais, estimadores, esperança e variância de variáveis aleatórias, e uso de propriedades de esperança (linearidade) e da definição de variância .
    - O que vamos precisar:
    1) A linha do cálculo de usando a forma equivalente
    1. Saber e .

Passo 2

Primeiro, escreve a esperança do estimador usando a fórmula acima:
El(hatsigma^2r) = E!l[tfrac1nsumi=1^n (Xi-bar X)^2r] = 1n,E!l[sumi=1^n Xi^2 ;-; n,bar X^2r] = 1nl(sumi=1^n E(Xi^2) ;-; n,E(bar X^2)r)
Aqui usei a linearidade de : .

Passo 3

Agora a gente precisa de duas coisas:
  1. Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 ;;Longrightarrow;; E(Y^2) = Var(Y) + [E(Y)]^2 .
  2. .
Lembra que pra qualquer variável ,

Passo 4

Como E(Xi^2) = Var(Xi) + [E(Xi)]^2 = sigma^2 + mu^2 , vale
  • E(bar X^2) = Var(bar X) + [E(bar X)]^2 = sigma^2n + mu^2 ,
  • .
Logo
Já para , sabemos
  • ,
  • .
Então

Passo 5

Volta na soma do Passo 2:
sumi=1^n E(Xi^2) = n(sigma^2 + mu^2), n,E(bar X^2) = nl(sigma^2n + mu^2r) = sigma^2 + nmu^2
Então
sumi=1^n E(Xi^2);-;n,E(bar X^2) = n(sigma^2+mu^2)-(sigma^2+nmu^2) = (n-1),sigma^2
Dividindo por El(hatsigma^2r) = 1n,(n-1),sigma^2 = n-1n,sigma^2 , a esperança do estimador vira

Resposta

boxedEl(sigma^2r)=n-1n,sigma^2

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