1. Vimos que todos os campos vetoriais da forma \mathbf{F}=\nabla g satisfazem a equação rot \mathbf{F}=\mathbf{0} e que todos os campos vetoriais da forma \mathbf{F}=\operatorname{rot} \mathbf{G} satisfazem a equação \operatorname{div} \mathbf{F}=0 (supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isto sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma f=\operatorname{div} \mathbf{G} devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa pergunta é “Não” demonstrando que toda função contínua f em \mathbb{R}^{3} é a divergência de algum campo de vetores. [Dica: Seja \mathbf{G}(x, y, z)=\langle g(x, y, z), 0,0\rangle, onde g(x, y, z)=\int_{0}^{x} f(t, y, z) d t.]

Passo 1

O enunciado pergunta se existe alguma condição (equação diferencial) que toda função f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} da forma f=\div \mathbf{G} deva satisfazer. Vamos mostrar que, na verdade, qualquer função contínua f é divergência de algum campo vetorial. Recordando que, para \mathbf{G}=(G_1,G_2,G_3),
\div \mathbf{G} =\frac{\partial G_1}{\partial x}+\frac{\partial G_2}{\partial y}+\frac{\partial G_3}{\partial z},
basta escolher \mathbf{G} de modo que sua componente x integre f em relação a x e as outras componentes sejam nulas.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf{G}(x,y,z) =\bigl(g(x,y,z),\,0,\,0\bigr),
onde
g(x,y,z) =\int_{0}^{x}f(t,y,z)\,dt.
Como f é contínua, g é diferenciável em x e as derivadas parciais de \mathbf{G} existem e são contínuas.

Passo 3

Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada de g(x,y,z) em relação a x é
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y,z) = f(x,y,z).
Além disso,
\frac{\partial }{\partial y}0 = 0, \qquad \frac{\partial }{\partial z}0 = 0.

Passo 4

Logo a divergência de \mathbf{G} é
\div \mathbf{G} =\frac{\partial g}{\partial x} + 0 + 0 = f(x,y,z),
o que mostra que qualquer função contínua f em \mathbb{R}^3 pode ser escrita como \div \mathbf{G}.

Resposta

Toda função contínua f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} é divergência do campo vetorial
\mathbf{G}(x,y,z) =\Bigl(\int_{0}^{x}f(t,y,z)\,dt,\,0,\,0\Bigr),
logo não existe nenhuma condição extra que f deva satisfazer para ser \div \mathbf{G}.

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