- Vimos que todos os campos vetoriais da forma
satisfazem a equação rot
e que todos os campos vetoriais da forma
satisfazem a equação
(supondo a continuidade das correspondentes derivadas parciais). Isto sugere a pergunta: existe alguma equação que todas as funções da forma
devam satisfazer? Mostre que a resposta para essa pergunta é “Não” demonstrando que toda função contínua
em
é a divergência de algum campo de vetores. [Dica: Seja
, onde
.]
Passo 1
O enunciado pergunta se existe alguma condição (equação diferencial) que toda função
da forma
deva satisfazer. Vamos mostrar que, na verdade, qualquer função contínua
é divergência de algum campo vetorial. Recordando que, para
,
basta escolher
de modo que sua componente
integre
em relação a
e as outras componentes sejam nulas.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
onde
Como
é contínua,
é diferenciável em
e as derivadas parciais de
existem e são contínuas.
Passo 3
Pela Regra Fundamental do Cálculo, a derivada de
em relação a
é
Além disso,
Passo 4
Logo a divergência de
é
o que mostra que qualquer função contínua
em
pode ser escrita como
.
Resposta
Toda função contínua
é divergência do campo vetorial
logo não existe nenhuma condição extra que
deva satisfazer para ser
.