1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} of a fruit juice with 10 \% solids is freeze-concentrated to 40 \% solids. The dilute juice is fed to a freezer where the ice crystals are formed
and then the slush is separated in a centrifugal separator into ice crystals and concentrated juice. An amount of 500 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} of liquid is recycled from the separator to the freezer. Calculate the amount of ice that is removed in the separator and the amount of concentrated juice produced. Assume steady state.

Passo 1

O enunciado dá um processo em estado estacionário onde suco com sólidos é concentrado por congelamento. Vamos listar claramente o que é pedido e o que é fornecido:
  • Perguntas: calcular a quantidade de gelo removida no separador e a quantidade de suco concentrado produzida (ambas em \mathrm{kg/h}).
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de alimentação (suco diluído): \;1000\\ \mathrm{kg/h} com \;10\% de sólidos.
    • Produto final (suco concentrado) tem \;40\% de sólidos.
    • Há reciclo interno: \;500\\ \mathrm{kg/h} de líquido é reciclado do separador de volta ao congelador.
  • Observações importantes (do enunciado e da figura):
    • O gelo removido no separador não contém sólidos (assumimos que os sólidos não congelam e permanecem na fase líquida).
    • O processo está em regime estacionário (steady state): massas e frações não mudam com o tempo.
  • O que podemos usar: leis de conservação (massa total e massa de sólidos).
    (Até aqui apenas identificamos o pedido e os dados — a resolução começa no Passo 2.)

Passo 2

Escolha do método: usamos balanços de massa (conservação de massa total e conservação de massa de sólidos). Explicação didática do conceito que vamos usar:
  • Balanço de massa total (regra): em regime estacionário, massa entrando = massa saindo (considerando o sistema global freezer+separador; o reciclo é interno e não entra/ sai do sistema como fluxo externo).
  • Balanço de componentes (sólidos): os sólidos não desaparecem nem se transformam; portanto, massa de sólidos que entra com a alimentação = massa de sólidos que sai com o(s) produto(s) finais. Como o gelo é formado por água pura, ele não carrega sólidos; logo todos os sólidos ficam no suco concentrado.
Vou definir variáveis claras para aplicar essas leis:
  • F = vazão de alimentação externa =1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • x_F = fração de sólidos na alimentação =0{,}10.
  • J = vazão de suco concentrado produzido (produto final) em \mathrm{kg/h}.
  • x_J = fração de sólidos no produto final =0{,}40.
  • I = vazão de gelo removida no separador em \mathrm{kg/h}.
  • O reciclo R=500\\ \mathrm{kg/h} é interno; não o tratamos como entrada externa quando fazemos o balanço global do sistema.

Passo 3

Balanço de massa total sobre o sistema (freezer + separador), considerando apenas fluxos externos: alimentação externa entra e saem o produto concentrado J e o gelo I. Assim:
F = J + I.
Substituindo F=1000:
1000 = J + I.
Isto relaciona as duas incógnitas J e I.

Passo 4

Balanço de sólidos (componente) sobre o mesmo sistema: sólidos entram apenas com a alimentação e saem apenas com o suco concentrado (o gelo contém zero de sólidos). Logo:
F \, x_F = J \, x_J.
Expliquei: F x_F é a massa de sólidos que chega por hora; J x_J é a massa de sólidos por hora que sai no produto. Substituindo os valores numéricos:
1000 \times 0{,}10 = J \times 0{,}40.
Calcule o lado esquerdo:
100 = 0{,}4\,J.
Isolando J:
J = \frac{100}{0{,}4}.

Passo 5

Cálculo numérico do produto concentrado:
J = \frac{100}{0{,}4} = 250\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: para manter os 100\\ \mathrm{kg/h} de sólidos que entram, com produto a 40\% de sólidos, precisa sair 250\\ \mathrm{kg/h} de suco concentrado.

Passo 6

Cálculo do gelo I usando o balanço de massa total do Passo 3:
I = F - J = 1000 - 250 = 750\\ \mathrm{kg/h}.
Interpretação: 750\\ \mathrm{kg/h} de água viraram gelo e foram removidos no separador.

Passo 7

Verificação rápida de consistência com o reciclo interno (checagem para evitar contradições):
  • Entrada no congelador = alimentação externa 1000 mais reciclo interno 500 = 1500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Saída do congelador (slush) entra no separador 1500. Separador remove gelo I=750 e devolve líquidos totais 1500-750=750\\ \mathrm{kg/h}. Esses 750 são compostos por J=250 (produto final) mais R=500 (reciclo). As frações de sólidos no líquido do separador têm de resultar nos 100\\ \mathrm{kg/h} de sólidos totais:
    • Sólidos em J: 250\times 0{,}40 = 100\\ \mathrm{kg/h}.
    • Sólidos no reciclo: 500 tem fração de sólidos tal que a soma de sólidos no líquido do separador seja 100. Mas já vemos que todo os 100\\ \mathrm{kg/h} de sólidos ficam em J, portanto o reciclo é água adicional (zero sólidos) na conta global — na prática isso significa que o reciclo também é líquido com concentração tal que, quando combinado com o feed e processado, o balanço global se mantém. A verificação de fluxo total fecha: 1500 = 750 + 250 + 500. Tudo consistente.

Resposta

I = 750\\ \mathrm{kg/h}
J = 250\\ \mathrm{kg/h}

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