Foi realizado um experimento de filtração em laboratório de uma suspensão de
em água a
e
(água a
) realizado a uma pressão constante (
) de
. O volume de filtrado foi monitorado ao longo do tempo e os dados estão representados na tabela a seguir:
Tempo (s)
5,9
12,8
22,0
33,2
46,8
62,2
79,7
99,4
120,7
144,9
Volume (L)
0,603
1,210
1,816
2,420
3,023
3,632
4,242
4,845
5,447
6,061
Sendo conhecidos a área de filtração (A) de
e a concentração de alimentação (
) de
, faça o exigido:
(a) calcule a resistência do meio filtrante
a resistividade da torta (
). Apresente os resultado com unidades do Sistema Internacional;
(b) justificando sua resposta, estime em minutos o tempo necessário para produzir um volume de filtrado de
da mesma suspensão, em um filtro industrial com
de área;
(c) Se o tempo limite para essa filtração fosse de 1h, qual deveria ser a área do filtro? Justifique sua resposta.
| Tempo (s) | 5,9 | 12,8 | 22,0 | 33,2 | 46,8 | 62,2 | 79,7 | 99,4 | 120,7 | 144,9 |
| Volume (L) | 0,603 | 1,210 | 1,816 | 2,420 | 3,023 | 3,632 | 4,242 | 4,845 | 5,447 | 6,061 |
(a) calcule a resistência do meio filtrante
(b) justificando sua resposta, estime em minutos o tempo necessário para produzir um volume de filtrado de
(c) Se o tempo limite para essa filtração fosse de 1h, qual deveria ser a área do filtro? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e fornece dados experimentais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
Perguntas:
- (a) Calcular a resistência do meio filtrante
e a resistividade da torta (unidades SI). - (b) Estimar, justificando, o tempo necessário (em minutos) para produzir
de filtrado num filtro industrial com sob mesma pressão. - (c) Se o tempo máximo permitido fosse
, qual deveria ser a área do filtro? Justifique.
Dados (retirei os volumes da tabela e converti litros para
):
- Pressão diferencial:
. - Viscosidade do líquido:
. - Área do experimento:
. - Concentração de alimentação:
. - Tabela (tempo em s; volume em L
converti para ): -
=
(5,9;\ 0{,}000603), (12,8;\ 0{,}001210), (22,0;\ 0{,}001816), (33,2;\ 0{,}002420),
(46,8;\ 0{,}003023), (62,2;\ 0{,}003632), (79,7;\ 0{,}004242), (99,4;\ 0{,}004845), (120,7;\ 0{,}005447), (144,9;\ 0{,}006061).
-
Observação: a resolução começa agora.
Passo 2
Vou deduzir a equação que relaciona
e
para filtração a pressão constante (lei de Darcy aplicada ao conjunto meio + torta).
Conceitos e fórmula (explicação didática):
- A vazão instantânea é
. - A lei de Darcy diz, para o escoamento através das resistências somadas (meio + torta), que a velocidade superficial
é dada por
onde
é a resistência do meio e
a resistência da torta.
- A resistência da torta pode ser escrita em função da massa de sólidos depositada por unidade de área:
. A massa de sólidos acumulada no filtrado é . Logo
- Substituindo em Darcy:
- Reorganizando e integrando (explicação do passo de integração): passamos os termos que dependem de
para um lado e integramos de a :
Integrando de
a
:
Esta é a expressão básica que usaremos (expliquei cada termo:
viscosidade,
área,
pressão,
resistividade,
concentração,
resistência do meio).
Passo 3
Linearização para obter
e
a partir dos dados experimentais.
- Divido ambos os lados da expressão por
(válido para ):
- Esta é uma equação linear do tipo
, com: - intercepto
, - coeficiente angular
.
- intercepto
- Portanto, se fizermos um ajuste linear de
versus obtemos e , e daí:
Passo 4
Cálculo numérico dos pontos e ajuste linear (mostro as contas essenciais; usei a propriedade
para simplificar somas).
- Para cada linha calculei
com em . Uma forma prática é usar . Obtive (valores em , arredondados razoavelmente): -
9784{,}412; 10578{,}512; 12114{,}537; 13719{,}008; 15481{,}309; 17125{,}552; 18788{,}307; 20516{,}000; 22159{,}000; 23906{,}946.
-
- Cálculos que precisamos para regressão linear por mínimos quadrados:
-
. -
. -
. -
. -
(usando ).
-
- Coeficientes da reta (fórmulas de regressão):
- Substituindo os números (mostro o resultado numérico dos cálculos):
- Numerador de
: . - Denominador de
: . - Logo
(unidade: ). - Então
.
- Numerador de
(Expliquei os passos e calculei os somatórios; os valores acima são consistentes com os pontos experimentais e com a reta
.)
Passo 5
Cálculo de
e
a partir de
e
.
- Fórmulas (repetindo para clareza):
- Substituições numéricas (mostrando aritmética principal):
- Para
: -
, -
. - Assim
. -
. - Então
-
- Para
: -
. -
. - Numerador
. - Denominador
. - Assim
-
- Para
- Comentário: unidades de
são (usualmente escrito ); unidades de são .
Passo 6
(b) Estimar o tempo necessário para produzir
num filtro com
.
- Usamos diretamente a expressão integrada:
- Substituições (valores calculados acima):
-
. -
. -
com , , portanto esse termo fica simplesmente . - Soma dentro dos colchetes
.
-
- Logo
- Convertendo para minutos:
(aprox. ).
Observação física: o termo da torta (o segundo termo) domina aqui, por isso a dependência forte com
e
.
Passo 7
(c) Se o tempo limite for
, qual deve ser a área
?
- A equação que envolve
(lembrando que aparece também no termo do quadrado) é:
- Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando, obtemos uma equação quadrática em :
- Esta é da forma
com -
, -
, -
.
-
- A solução física (raiz positiva) é
- Substituindo (com
, ): -
. -
. -
. -
(uso da simplificação: quando , mas calculei diretamente). - Calcule o discriminante:
termo dominado por (numérica: ), e . - Então
-
- Interpretação: para reduzir o tempo para 1 h, a área precisa aumentar de
para cerca de — aumento moderado porque o termo da torta domina e a dependência em é mista (aparece em e em ).
Resposta
(a)
\
(a) \
(b) Tempo (aprox.
, ou
) para
e
. \
(c) Área necessária para e
:
.
(a)
(b) Tempo
(c) Área necessária para