Foi realizado um experimento de filtração em laboratório de uma suspensão de \mathrm{CaCO}_{3} em água a 298,2 \mathrm{~K}\left(25^{\circ} \mathrm{C}\right) e \mu=8,937 \cdot 10^{-4} \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s} (água a 298,2 \mathrm{~K} ) realizado a uma pressão constante ( \Delta \mathrm{P} ) de 338 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}. O volume de filtrado foi monitorado ao longo do tempo e os dados estão representados na tabela a seguir:
Tempo (s) 5,9 12,8 22,0 33,2 46,8 62,2 79,7 99,4 120,7 144,9
Volume (L) 0,603 1,210 1,816 2,420 3,023 3,632 4,242 4,845 5,447 6,061
Sendo conhecidos a área de filtração (A) de 0,05 \mathrm{~m}^{2} e a concentração de alimentação ( \mathrm{c}_{\mathrm{A}} ) de 25,00 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, faça o exigido:
(a) calcule a resistência do meio filtrante \left(\mathrm{R}_{\mathrm{m}}\right) a resistividade da torta ( \alpha ). Apresente os resultado com unidades do Sistema Internacional;
(b) justificando sua resposta, estime em minutos o tempo necessário para produzir um volume de filtrado de 2 \mathrm{~m}^{3} da mesma suspensão, em um filtro industrial com 2 \mathrm{~m}^{2} de área;
(c) Se o tempo limite para essa filtração fosse de 1h, qual deveria ser a área do filtro? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e fornece dados experimentais. Vou listar claramente o que é pedido e os dados que temos.
Perguntas:
  • (a) Calcular a resistência do meio filtrante \mathrm{R}_{\mathrm{m}} e a resistividade da torta \alpha (unidades SI).
  • (b) Estimar, justificando, o tempo necessário (em minutos) para produzir \,2{,}0\\ \mathrm{m}^3 de filtrado num filtro industrial com \,A=2{,}0\\ \mathrm{m}^2 sob mesma pressão.
  • (c) Se o tempo máximo permitido fosse 1\\ \mathrm{h}, qual deveria ser a área do filtro? Justifique.
Dados (retirei os volumes da tabela e converti litros para \mathrm{m}^3):
  • Pressão diferencial: \Delta P = 338\\ \mathrm{kN/m^2} = 338000\\ \mathrm{Pa}.
  • Viscosidade do líquido: \mu = 8{,}937\cdot10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Área do experimento: A=0{,}05\\ \mathrm{m}^2.
  • Concentração de alimentação: c_A = 25{,}00\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Tabela (tempo em s; volume em L \rightarrow converti para \mathrm{m}^3):
    • (t_i,\;V_i\\ \mathrm{[m^3]}) =
      (5,9;\ 0{,}000603), (12,8;\ 0{,}001210), (22,0;\ 0{,}001816), (33,2;\ 0{,}002420),
      (46,8;\ 0{,}003023), (62,2;\ 0{,}003632), (79,7;\ 0{,}004242), (99,4;\ 0{,}004845), (120,7;\ 0{,}005447), (144,9;\ 0{,}006061).
Observação: a resolução começa agora.

Passo 2

Vou deduzir a equação que relaciona t e V para filtração a pressão constante (lei de Darcy aplicada ao conjunto meio + torta).
Conceitos e fórmula (explicação didática):
  • A vazão instantânea é Q=\dfrac{dV}{dt}.
  • A lei de Darcy diz, para o escoamento através das resistências somadas (meio + torta), que a velocidade superficial u=Q/A é dada por
u = \frac{\Delta P}{\mu\,(R_{\mathrm{m}} + R_{\mathrm{c}})},
onde R_{\mathrm{m}} é a resistência do meio e R_{\mathrm{c}} a resistência da torta.
  • A resistência da torta pode ser escrita em função da massa de sólidos depositada por unidade de área: R_{\mathrm{c}} = \alpha \frac{m}{A}. A massa de sólidos acumulada no filtrado é m = c_A V. Logo
R_{\mathrm{c}} = \alpha \frac{c_A V}{A}.
  • Substituindo em Darcy:
\frac{dV}{dt} = Q = A\frac{\Delta P}{\mu\left(R_{\mathrm{m}} + \alpha\frac{c_A V}{A}\right)}.
  • Reorganizando e integrando (explicação do passo de integração): passamos os termos que dependem de V para um lado e integramos de 0 a V:
dt = \frac{\mu}{A\Delta P}\left(R_{\mathrm{m}} + \frac{\alpha c_A V}{A}\right)dV.
Integrando de 0 a V:
t = \frac{\mu}{A\Delta P}\left(R_{\mathrm{m}}V + \frac{\alpha c_A}{2A}V^2\right).
Esta é a expressão básica que usaremos (expliquei cada termo: \mu viscosidade, A área, \Delta P pressão, \alpha resistividade, c_A concentração, R_{\mathrm{m}} resistência do meio).

Passo 3

Linearização para obter \mathrm{R}_{\mathrm{m}} e \alpha a partir dos dados experimentais.
  • Divido ambos os lados da expressão por V (válido para V>0):
\frac{t}{V} = \frac{\mu R_{\mathrm{m}}}{A\Delta P} \;+\; \frac{\mu \alpha c_A}{2 A^2 \Delta P}\; V.
  • Esta é uma equação linear do tipo \dfrac{t}{V} = a + b V, com:
    • intercepto \displaystyle a = \frac{\mu R_{\mathrm{m}}}{A\Delta P},
    • coeficiente angular \displaystyle b = \frac{\mu \alpha c_A}{2 A^2 \Delta P}.
  • Portanto, se fizermos um ajuste linear de \dfrac{t}{V} versus V obtemos a e b, e daí:
R_{\mathrm{m}} = \frac{a A \Delta P}{\mu},\qquad \alpha = \frac{2 A^2 \Delta P\, b}{\mu c_A}.

Passo 4

Cálculo numérico dos pontos e ajuste linear (mostro as contas essenciais; usei a propriedade V(t/V)=t para simplificar somas).
  • Para cada linha calculei \dfrac{t_i}{V_i} com V_i em \mathrm{m}^3. Uma forma prática é usar \dfrac{t_i}{V_i} = \dfrac{t_i\cdot 1000}{V_i(\mathrm{L})}. Obtive (valores em \mathrm{s/m^3}, arredondados razoavelmente):
    • \dfrac{t}{V}= 9784{,}412; 10578{,}512; 12114{,}537; 13719{,}008; 15481{,}309; 17125{,}552; 18788{,}307; 20516{,}000; 22159{,}000; 23906{,}946.
  • Cálculos que precisamos para regressão linear por mínimos quadrados:
    • n=10.
    • \displaystyle \sum V_i = 0{,}033299\\ \mathrm{m^3}.
    • \displaystyle \sum \frac{t_i}{V_i} \approx 164173{,}583\\ \mathrm{s/m^3}.
    • \displaystyle \sum V_i^2 \approx 1{,}41188937\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^6}.
    • \displaystyle \sum V_i\frac{t_i}{V_i}=\sum t_i = 627{,}6\\ \mathrm{s} (usando V\cdot(t/V)=t).
  • Coeficientes da reta (fórmulas de regressão):
b = \frac{n\sum (V_i t_i/V_i) - (\sum V_i)(\sum t_i/V_i)}{n\sum V_i^2 - (\sum V_i)^2},
a = \frac{1}{n}\left(\sum \frac{t_i}{V_i} - b \sum V_i\right).
  • Substituindo os números (mostro o resultado numérico dos cálculos):
    • Numerador de b: 10\cdot 627{,}6 - (0{,}033299)(164173{,}583) \approx 809{,}184.
    • Denominador de b: 10\cdot 1{,}41188937\times 10^{-4} - (0{,}033299)^2 \approx 3{,}03059969\times 10^{-4}.
    • Logo b \approx 2{,}670{,}045\\ \mathrm{s/m^6} (unidade: \dfrac{\mathrm{s/m^3}}{\mathrm{m^3}}=\mathrm{s/m^6}).
    • Então a \approx 7{,}526{,}375\\ \mathrm{s/m^3}.
(Expliquei os passos e calculei os somatórios; os valores acima são consistentes com os pontos experimentais e com a reta \tfrac{t}{V}=a+bV.)

Passo 5

Cálculo de \mathrm{R}_{\mathrm{m}} e \alpha a partir de a e b.
  • Fórmulas (repetindo para clareza):
R_{\mathrm{m}} = \frac{a A \Delta P}{\mu}, \qquad \alpha = \frac{2 A^2 \Delta P\, b}{\mu c_A}.
  • Substituições numéricas (mostrando aritmética principal):
    • Para R_{\mathrm{m}}:
      • a=7{,}526{,}375\\ \mathrm{s/m^3},
      • A\Delta P = 0{,}05\cdot 338000 = 16{,}900.
      • Assim a A\Delta P \approx 7{,}526{,}375\cdot 16{,}900 \approx 1{,}27195795\times 10^{8}.
      • \mu = 8{,}937\times 10^{-4}.
      • Então
      R_{\mathrm{m}} \approx \frac{1{,}27195795\times 10^{8}}{8{,}937\times 10^{-4}} \approx 1{,}423\times 10^{11}\\ \mathrm{m^{-1}}.
    • Para \alpha:
      • 2A^2\Delta P = 2\cdot(0{,}05)^2\cdot 338000 = 1690.
      • b\approx 2{,}670{,}045\\ \mathrm{s/m^6}.
      • Numerador =1690\cdot b \approx 4{,}512{,}376{,}050.
      • Denominador \mu c_A = 8{,}937\times 10^{-4}\cdot 25 = 0{,}0223425.
      • Assim
      \alpha \approx \frac{4{,}512{,}376{,}050}{0{,}0223425} \approx 2{,}02\times 10^{11}\\ \mathrm{m\cdot kg^{-1}}.
  • Comentário: unidades de \alpha são \mathrm{m/kg} (usualmente escrito \mathrm{m\cdot kg^{-1}}); unidades de R_{\mathrm{m}} são \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

(b) Estimar o tempo necessário para produzir V=2{,}0\\ \mathrm{m^3} num filtro com A=2{,}0\\ \mathrm{m^2}.
  • Usamos diretamente a expressão integrada:
t = \frac{\mu}{A\Delta P}\left(R_{\mathrm{m}}V + \frac{\alpha c_A}{2A}V^2\right).
  • Substituições (valores calculados acima):
    • \mu/(A\Delta P) = \dfrac{8{,}937\cdot10^{-4}}{2\cdot 338000} \approx 1{,}32216\times 10^{-9}\\ \mathrm{s\cdot m^{-3}}.
    • R_{\mathrm{m}}V \approx 1{,}423\times 10^{11}\cdot 2 = 2{,}847\times 10^{11}.
    • \dfrac{\alpha c_A}{2A}V^2: com V=2, V^2/(2A)=4/(2\cdot 2)=1, portanto esse termo fica simplesmente \alpha c_A \approx 2{,}02\times 10^{11}\cdot 25 = 5{,}05\times 10^{12}.
    • Soma dentro dos colchetes \approx 2{,}847\times 10^{11} + 5{,}05\times 10^{12} \approx 5{,}337\times 10^{12}.
  • Logo
t \approx 1{,}32216\times 10^{-9}\cdot 5{,}337\times 10^{12} \approx 7{,}057\\ \mathrm{s}.
  • Convertendo para minutos: 7{,}057\\ \mathrm{s}\approx 117{,}6\\ \mathrm{min} (aprox. 1{,}96\\ \mathrm{h}).
Observação física: o termo da torta (o segundo termo) domina aqui, por isso a dependência forte com \alpha e c_A.

Passo 7

(c) Se o tempo limite for 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, qual deve ser a área A?
  • A equação que envolve A (lembrando que A aparece também no termo do quadrado) é:
t = \frac{\mu}{A\Delta P}\left(R_{\mathrm{m}}V + \frac{\alpha c_A}{2A}V^2\right).
  • Multiplicando ambos os lados por A e reorganizando, obtemos uma equação quadrática em A:
\left(\frac{\Delta P}{\mu}\right)t A^2 - R_{\mathrm{m}}V\; A - \frac{\alpha c_A V^2}{2} = 0.
  • Esta é da forma p A^2 - q A - r =0 com
    • p = (\Delta P/\mu) t,
    • q = R_{\mathrm{m}}V,
    • r = \dfrac{\alpha c_A V^2}{2}.
  • A solução física (raiz positiva) é
A = \frac{q + \sqrt{q^2 + 4 p r}}{2 p}.
  • Substituindo (com t=3600\\ \mathrm{s}, V=2\\ \mathrm{m^3}):
    • \dfrac{\Delta P}{\mu} \approx \dfrac{338000}{8{,}937\times 10^{-4}} \approx 3{,}78238224\times 10^{8}\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • p = (\Delta P/\mu)\,t \approx 3{,}78238224\times 10^{8}\cdot 3600 \approx 1{,}3616576\times 10^{12}.
    • q = R_{\mathrm{m}}V \approx 1{,}423\times 10^{11}\cdot 2 \approx 2{,}847\times 10^{11}.
    • r = \dfrac{\alpha c_A V^2}{2} = \dfrac{(2{,}02\times 10^{11})(25)(4)}{2} = 100\cdot \alpha \approx 2{,}0209\times 10^{13} (uso da simplificação: V^2/2 = 2 quando V=2, mas calculei diretamente).
    • Calcule o discriminante: q^2 + 4pr \approx termo dominado por 4pr (numérica: \sim 5{,}505\times 10^{25}), e \sqrt{\cdot} \approx 7{,}423\times 10^{12}.
    • Então
A \approx \frac{2{,}847\times 10^{11} + 7{,}423\times 10^{12}}{2\cdot 1{,}3616576\times 10^{12}} \approx \frac{7{,}707\times 10^{12}}{2{,}723\times 10^{12}} \approx 2{,}83\\ \mathrm{m^2}.
  • Interpretação: para reduzir o tempo para 1 h, a área precisa aumentar de 2{,}0\\ \mathrm{m^2} para cerca de 2{,}83\\ \mathrm{m^2} — aumento moderado porque o termo da torta domina e a dependência em A é mista (aparece em 1/A e em 1/A^2).

Resposta

(a) R_{\mathrm{m}} \approx 1{,}42\times 10^{11}\\ \mathrm{m^{-1}} \
(a) \alpha \approx 2{,}02\times 10^{11}\\ \mathrm{m\cdot kg^{-1}} \
(b) Tempo \approx 117{,}6\\ \mathrm{min} (aprox. 7{,}057\\ \mathrm{s}, ou 1{,}96\\ \mathrm{h}) para V=2{,}0\\ \mathrm{m^3} e A=2{,}0\\ \mathrm{m^2}. \
(c) Área necessária para t=1\\ \mathrm{h} e V=2{,}0\\ \mathrm{m^3}: A \approx 2{,}83\\ \mathrm{m^2}.

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