Vinte partículas estão se movendo com as seguintes velocidades: quatro a
, duas a
, quatro a
e as demais com
.
(a) Qual a velocidade média?
Resposta: □
(b) Qual a velocidade média quadrática?
Resposta: □
(c) De quantas vezes aumenta a velocidade média quadrática se a velocidade mais alta passar a ser de
?
Resposta: □
(a) Qual a velocidade média?
(b) Qual a velocidade média quadrática?
(c) De quantas vezes aumenta a velocidade média quadrática se a velocidade mais alta passar a ser de
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre um conjunto de
partículas com velocidades dadas em grupos:
- (a) a velocidade média;
- (b) a velocidade média quadrática (RMS — root mean square);
- (c) de quantas vezes a velocidade média quadrática aumenta se a velocidade mais alta passar a ser
.
Informações fornecidas (contagem de partículas por velocidade):
Passo 2
Explicação e fórmula para a velocidade média (aritmética) para dados com frequências: se temos
partículas e velocidades
ocorrendo com frequência
, a velocidade média é
onde
. Aqui
. Vou aplicar a fórmula somando contribuição de cada grupo de partículas.
Passo 3
Cálculo da soma das velocidades (usando os dados do enunciado):
A velocidade média é então
Passo 4
Explicação e fórmula para a velocidade média quadrática (RMS): a velocidade média quadrática é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades. Com frequências,
Aqui
significa o quadrado da velocidade do grupo
,
é a quantidade de partículas desse grupo, e
.
Passo 5
Cálculo das contribuições
para cada grupo:
Somando:
A média dos quadrados é
Passo 6
Agora tiramos a raiz quadrada para obter o RMS:
Explicação prática: eu calculei a raiz aproximada por métodos numéricos (ou série de aproximação). O valor final arredondado aqui foi dado com duas casas decimais.
Passo 7
Cenário modificado: a velocidade mais alta passa a ser
. Pelo enunciado, isso substitui o grupo de
partículas que estavam em
por
partículas em
. As outras contagens permanecem iguais. Recalculo da soma dos quadrados com a nova velocidade:
Somando:
Média dos quadrados:
RMS novo:
Passo 8
Agora calculamos de quantas vezes a velocidade média quadrática aumentou, ou seja a razão
Computando numericamente:
Interpretação: a RMS ficou pouco mais de duas vezes maior.
Resposta
(a)
(b)
(c) vezes
(b)
(c)