Vinte partículas estão se movendo com as seguintes velocidades: quatro a 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, duas a 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, quatro a 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e as demais com 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Qual a velocidade média?
Resposta: □
(b) Qual a velocidade média quadrática?
Resposta: □
(c) De quantas vezes aumenta a velocidade média quadrática se a velocidade mais alta passar a ser de 905 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um conjunto de 20 partículas com velocidades dadas em grupos:
  • (a) a velocidade média;
  • (b) a velocidade média quadrática (RMS — root mean square);
  • (c) de quantas vezes a velocidade média quadrática aumenta se a velocidade mais alta passar a ser 905\\ \mathrm{m/s}.
Informações fornecidas (contagem de partículas por velocidade):
\begin{aligned} &4\\ \text{partículas com}\\\ 100\\ \mathrm{m/s},\\\ &2\\ \text{partículas com}\\\ 250\\ \mathrm{m/s},\\\ &4\\ \text{partículas com}\\\ 300\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{restantes (}20-(4+2+4)=10\text{) com}\\\ 400\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}ííí

Passo 2

Explicação e fórmula para a velocidade média (aritmética) para dados com frequências: se temos N partículas e velocidades v_i ocorrendo com frequência n_i, a velocidade média é
\bar v = \frac{1}{N}\sum_i n_i v_i,
onde N=\sum_i n_i. Aqui N=20. Vou aplicar a fórmula somando contribuição de cada grupo de partículas.

Passo 3

Cálculo da soma das velocidades (usando os dados do enunciado):
\begin{aligned} \sum_i n_i v_i &= 4\cdot 100 + 2\cdot 250 + 4\cdot 300 + 10\cdot 400\\\ &= 400 + 500 + 1\,200 + 4\,000\\\ &= 6\,100. \end{aligned}
A velocidade média é então
\bar v = \frac{6\,100}{20} = 305\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Explicação e fórmula para a velocidade média quadrática (RMS): a velocidade média quadrática é a raiz quadrada da média dos quadrados das velocidades. Com frequências,
v_\text{rms} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_i n_i v_i^2}.
Aqui v_i^2 significa o quadrado da velocidade do grupo i, n_i é a quantidade de partículas desse grupo, e N=20.

Passo 5

Cálculo das contribuições n_i v_i^2 para cada grupo:
\begin{aligned} 4\cdot 100^2 &= 4\cdot 10\,000 = 40\,000,\\\\ 2\cdot 250^2 &= 2\cdot 62\,500 = 125\,000,\\\\ 4\cdot 300^2 &= 4\cdot 90\,000 = 360\,000,\\\\ 10\cdot 400^2 &= 10\cdot 160\,000 = 1\,600\,000. \end{aligned}
Somando:
\sum_i n_i v_i^2 = 40\,000 + 125\,000 + 360\,000 + 1\,600\,000 = 2\,125\,000.
A média dos quadrados é
\frac{1}{20}\sum_i n_i v_i^2 = \frac{2\,125\,000}{20} = 106\,250.

Passo 6

Agora tiramos a raiz quadrada para obter o RMS:
v_\text{rms} = \sqrt{106\,250} \approx 325,96\\ \mathrm{m/s}.
Explicação prática: eu calculei a raiz aproximada por métodos numéricos (ou série de aproximação). O valor final arredondado aqui foi dado com duas casas decimais.

Passo 7

Cenário modificado: a velocidade mais alta passa a ser 905\\ \mathrm{m/s}. Pelo enunciado, isso substitui o grupo de 10 partículas que estavam em 400\\ \mathrm{m/s} por 10 partículas em 905\\ \mathrm{m/s}. As outras contagens permanecem iguais. Recalculo da soma dos quadrados com a nova velocidade:
\begin{aligned} 4\cdot 100^2 &= 40\,000,\\\\ 2\cdot 250^2 &= 125\,000,\\\\ 4\cdot 300^2 &= 360\,000,\\\\ 10\cdot 905^2 &= 10\cdot 819\,025 = 8\,190\,250. \end{aligned}
Somando:
\sum_i n_i v_i^2 = 40\,000 + 125\,000 + 360\,000 + 8\,190\,250 = 8\,715\,250.
Média dos quadrados:
\frac{8\,715\,250}{20} = 435\,762{,}5.
RMS novo:
v_{\text{rms,novo}} = \sqrt{435\,762{,}5} \approx 660,12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Agora calculamos de quantas vezes a velocidade média quadrática aumentou, ou seja a razão
\text{fator} = \frac{v_{\text{rms,novo}}}{v_{\text{rms,antigo}}} = \frac{\sqrt{435\,762{,}5}}{\sqrt{106\,250}} = \sqrt{\frac{435\,762{,}5}{106\,250}}.
Computando numericamente:
\text{fator} \approx \frac{660{,}12}{325{,}96} \approx 2{,}025.
Interpretação: a RMS ficou pouco mais de duas vezes maior.

Resposta

(a) 305\\ \mathrm{m/s}
(b) 325{,}96\\ \mathrm{m/s}
(c) 2{,}025 vezes

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