(a) No que consiste a Hipótese de de Broglie? Explique! (b) No que ela difere da hipótese de Planck? (c) Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular, proposta por Niels Bohr em 1913? Explique e demonstre! (d) Considere a aplicação da hipótese de de Broglie para uma partícula relativística e mostre que a relação entre o comprimento de onda
e a energia cinética da partícula
resulta ser:
(e) Como fica essa expressão no regime ultra-relativístico
? (f) Como fica o comprimento de onda do item (d) no regime não-relativístico?
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais informações são relevantes.
-
Perguntas do enunciado:
(a) Explicar em que consiste a Hipótese de de Broglie.
(b) Explicar em que ela difere da hipótese de Planck.
(c) Mostrar como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular de Bohr e demonstrar isso.
(d) Aplicar a hipótese de de Broglie a uma partícula relativística e demonstrar queondeé a energia cinética, a massa de repouso, a velocidade da luz e a constante de Planck.
(e) Encontrar a forma dessa expressão no regime ultra-relativístico.
(f) Encontrar o comprimento de onda no regime não-relativístico. -
Informações e símbolos a usar (definições que vou empregar ao longo da resolução):
-
: constante de Planck. -
: velocidade da luz no vácuo. -
: massa de repouso da partícula. -
: velocidade da partícula. -
: momento linear da partícula. -
: comprimento de onda associado à partícula (de Broglie). -
: energia total relativística da partícula. -
: energia cinética, com . - Relação energia-momento relativística:
.
-
A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
(a) O que diz a Hipótese de de Broglie — explicação didática e intuitiva
- Enunciado da hipótese (em palavras simples): de Broglie propôs que, assim como a luz — que tem comportamento de partícula (fótons) e de onda — as partículas materiais (elétrons, prótons, átomos, etc.) também têm uma natureza ondulatória associada. A cada partícula de momento linear
, associa-se uma onda de comprimento de onda dada por
- O que a fórmula significa:
-
é o momento linear típico da partícula; para uma partícula não-relativística, , mas em geral é o momento relativístico. -
é a constante de Planck (número fixo); portanto fica menor quando o momento é maior: partículas rápidas têm comprimentos de onda curtos.
-
- Origem intuitiva (sem provas formais aqui, só intuição): de Broglie usou a analogia com a luz. Para fótons temos
(Planck) e (relacionamento energia-momento para fótons), daí . de Broglie generalizou essa relação para partículas com massa, propondo que toda partícula tem associada uma onda com . - Por que isso é útil: explica fenômenos como difração e interferência de elétrons (observados experimentalmente) e fundamenta a ideia de dualidade onda-partícula.
Passo 3
(b) Diferença entre a hipótese de de Broglie e a hipótese de Planck — explicação clara
- Hipótese de Planck:
- Proposta por Max Planck (1900) para explicar o espectro de corpo negro.
- Afirma que a energia trocada por osciladores (ou por um modo de campo eletromagnético) é quantizada em “módulos” de energia
, onde é a frequência e a constante de Planck. - Em termos práticos: Planck diz como a energia está quantizada em trocas térmicas/quantos de energia para a radiação — relaciona energia
com frequência .
- Hipótese de de Broglie:
- Propõe que matéria tem propriedade ondulatória: associa comprimento de onda
a uma partícula através de . - Não é uma afirmação sobre quantização de energia de osciladores, mas sobre a natureza ondulatória da matéria e relação entre momento e comprimento de onda.
- Propõe que matéria tem propriedade ondulatória: associa comprimento de onda
- Resumindo a diferença (em uma frase): Planck quantizou a energia das trocas radiativas (energia ↔ frequência); de Broglie, por analogia com Planck e Einstein, propôs que partículas materiais têm comprimento de onda ligado ao seu momento (momento ↔ comprimento de onda). Planck trata de energia/freqüência; de Broglie trata de momento/comprimento de onda.
Passo 4
(c) Como a hipótese de de Broglie explica a quantização do momento angular de Bohr — demonstração passo a passo
- Contexto (Bohr, 1913): Bohr propôs que, para o átomo de hidrogênio, os elétrons descrevem órbitas circulares estacionárias em que o momento angular
é quantizado como
onde
é um inteiro positivo e
.
Bohr introduziu isso como uma condição empírica. Agora mostramos que a hipótese de de Broglie fornece uma interpretação natural dessa condição.
Bohr introduziu isso como uma condição empírica. Agora mostramos que a hipótese de de Broglie fornece uma interpretação natural dessa condição.
-
Ideia física por trás da explicação: se o elétron tem natureza ondulatória com comprimento de onda
, então para que a onda associada ao elétron seja compatível com uma órbita fechada (sem se cancelar por interferência destrutiva), a circunferência da órbita deve conter um número inteiro de comprimentos de onda. Senão, a onda não se “encaixa” de forma estável na órbita. -
Passos matemáticos:
- Condição de compatibilidade de onda na órbita circular de raio
:
Isso diz: a circunferência deve ser um múltiplo inteiro de.
2. Usando a relação de Broglie, substituímos na condição acima: - Isolando
:
- Para uma partícula clássica em movimento circular não-relativístico, o momento linear é
e o momento angular em módulo é
Substituindo no passo anterior: - Condição de compatibilidade de onda na órbita circular de raio
-
Conclusão: A condição de de Broglie
implica exatamente a quantização do momento angular proposta por Bohr, . Assim, a hipótese ondulatória dá uma justificativa física para a condição de Bohr: apenas órbitas onde a onda do elétron fecha sem descontinuidade são permitidas — essas são as órbitas estacionárias quantizadas.
Passo 5
(d) Aplicação da hipótese de de Broglie a uma partícula relativística — dedução detalhada da fórmula pedida
Queremos partir de
e escrever
em função de
(energia cinética).
-
Passo 1: relação energia-momento relativística (fundamental)onde
é a energia total relativística da partícula, seu momento e a massa de repouso.
Definições:, com a energia cinética. -
Passo 2: expressar
em função de .
Substituana relação energia-momento: Agora resolva para: Expanda o quadrado no lado direito:Os termoscancelam, sobrando PortantoE tomando raiz positiva (momento em módulo) -
Passo 3: usar a relação de Broglie
.
Substituindoobtido acima: Simplificando:Fatorandono radicando: Logoque é exatamente a relação pedida. -
Observações sobre as etapas: detalhei a identidade energia-momento e a substituição
. Cada variável foi definida e a manipulação algébrica foi feita passo a passo.
Passo 6
(e) Limite ultra-relativístico
— aproximação e resultado
- Quando
é muito maior que , o termo dentro do parêntese é pequeno em comparação com . Então, no radicando: - Assim a raiz fica aproximadamente
(tomando a raiz positiva porque ). Substituindo na fórmula do item (d): - Interpretação física curta: no limite ultra-relativístico a energia cinética domina a massa de repouso e a partícula se comporta de forma similar a uma partícula sem massa (fóton): para um fóton
e e . Portanto a expressão faz sentido: .
Passo 7
(f) Limite não-relativístico
— aproximação e resultado
Existem duas maneiras de chegar ao resultado; eu mostro as duas, passo a passo.
-
Método A: partir da fórmula geral do item (d) e aproximar.
- Se
é muito menor que , então . Substituindo no radicando: - Então a raiz é
. Substituindo em : - Simplificando
dentro da raiz:
- Se
-
Método B: partir da relação clássica entre energia cinética e momento (não-relativística) e usar
. - Em regime não-relativístico temos
. Isolando : - Usando
: - É exatamente o mesmo resultado, que é a forma conhecida do comprimento de onda de de Broglie no regime clássico lento.
- Em regime não-relativístico temos
-
Conclusão do item (f):
Resposta
(a) A Hipótese de de Broglie afirma que a matéria tem natureza ondulatória e associa a cada partícula de momento
um comprimento de onda dado por
.
(b) Diferença: a hipótese de Planck relaciona energia com frequência para a radiação ( ) e trata quantização da energia em intercâmbios; a hipótese de de Broglie generaliza a natureza ondulatória às partículas materiais e relaciona momento com comprimento de onda (
).
(c) Pela condição de compatibilidade de onda numa órbita circular e usando
resulta
. Como
segue
, recuperando a quantização de Bohr.
(d) Para uma partícula relativística, usando e
obtemos
e, com
,
(b) Diferença: a hipótese de Planck relaciona energia com frequência para a radiação (
(c) Pela condição de compatibilidade de onda numa órbita circular
(d) Para uma partícula relativística, usando
(e) Regime ultra-relativístico
:
(f) Regime não-relativístico :
(f) Regime não-relativístico