Para fazer gelo, um freezer extrai 42 kJ de calor de um reservatório a -15^{\circ} \mathrm{C} em cada ciclo. O coeficiente de desempenho do freezer é 3,2 . \mathrm{A} temperatura do ambiente é 30,3^{\circ} \mathrm{C}.
(a) Quanto calor, por ciclo, é rejeitado para o ambiente?
Resposta: □
(b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necessária para manter o freezer em funcionamento?
Resposta: □
(c) Qual o coeficiente de desempenho máximo do freezer operando nessas circunstâncias?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e as informações dadas são as seguintes:
  • Perguntas:
    • (a) Quanto calor, por ciclo, é rejeitado para o ambiente?
    • (b) Qual a quantidade de trabalho por ciclo necessária para manter o freezer em funcionamento?
    • (c) Qual o coeficiente de desempenho máximo do freezer operando nessas circunstâncias?
  • Dados (retirados do enunciado):
    • O freezer extrai por ciclo 42\\ \mathrm{kJ} de calor do reservatório a -15^\circ\mathrm{C}. Vou chamar isso de Q_L, ou seja Q_L = 42\\ \mathrm{kJ}.
    • O coeficiente de desempenho real do freezer é 3,2. Vou chamar isso de \mathrm{COP} = 3,2.
    • A temperatura do ambiente (reservatório quente) é 30,3^\circ\mathrm{C}. Vou chamar isso de T_H = 30,3^\circ\mathrm{C}.
    • A temperatura do reservatório frio é T_L = -15^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo e escrevendo as fórmulas fundamentais (sem resolver ainda).
  • Primeira lei da termodinâmica aplicada ao ciclo do refrigerador (conservação de energia): o calor rejeitado ao ambiente Q_H por ciclo é a soma do calor extraído do frio Q_L com o trabalho realizado W fornecido ao freezer:
Q_H = Q_L + W
Aqui:
  • Q_L é o calor extraído do reservatório frio (o valor dado, 42\\ \mathrm{kJ});
  • W é o trabalho fornecido ao freezer;
  • Q_H é o calor rejeitado ao reservatório quente (o que a parte (a) pede).
  • Definição do coeficiente de desempenho (COP) para um refrigerador (freezer): é a razão entre o calor extraído do compartimento frio e o trabalho necessário por ciclo:
\mathrm{COP} = \frac{Q_L}{W}
Aqui:
  • \mathrm{COP} é adimensional;
  • Q_L e W devem estar na mesma unidade (aqui usaremos \mathrm{kJ}).
A partir dessa definição podemos isolar W:
W = \frac{Q_L}{\mathrm{COP}}

Passo 3

Calcular o trabalho por ciclo W usando a definição de \mathrm{COP}.
Temos Q_L = 42\\ \mathrm{kJ} e \mathrm{COP} = 3,2. Substituindo em
W = \frac{Q_L}{\mathrm{COP}}
obtemos
W = \frac{42\\ \mathrm{kJ}}{3,2}.
Agora faço a divisão passo a passo (para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora, dividimos 42 por 3,2 = 32/10):
  • Multiplico numerador e denominador por 10 para eliminar a vírgula: \dfrac{42}{3,2} = \dfrac{420}{32}.
  • Dividindo: 32 cabe em 320 exatamente 10 vezes (resto 0), e sobra 100 (pois 420-320=100). 32 cabe em 100 exatamente 3 vezes ( 3\cdot32=96 ), resto 4. Assim 420/32 = 13 com resto 4. Para continuar em decimal, resto 4 corresponde a 40/32 = 1 com resto 8, e 80/32 = 2 com resto 16, etc. Mas já temos o suficiente para uma boa precisão.
    Portanto,
W \approx 13,125\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Calcular o calor rejeitado Q_H usando a primeira lei Q_H = Q_L + W.
Já sabemos Q_L = 42\\ \mathrm{kJ} e calculamos W \approx 13,125\\ \mathrm{kJ}. Assim
Q_H = 42\\ \mathrm{kJ} + 13,125\\ \mathrm{kJ} = 55,125\\ \mathrm{kJ}.
Se preferir arredondar com dois algarismos significativos relevantes para a prova, podemos escrever Q_H \approx 55,1\\ \mathrm{kJ} e W \approx 13,1\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Agora a parte (c): qual o coeficiente de desempenho máximo (ideal, de Carnot) nas temperaturas dadas?
  • Para um refrigerador operando reversivelmente (máximo desempenho possível entre duas temperaturas), o coeficiente de desempenho de Carnot é dado por:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_L}{T_H - T_L},
onde T_L e T_H são as temperaturas absolutas (em Kelvin) do reservatório frio e do quente, respectivamente. É obrigatório usar Kelvin porque a fórmula vem de razões térmicas absolutas.
  • Converter as temperaturas dadas em Celsius para Kelvin:
T_L = -15^\circ\mathrm{C} = -15 + 273,15 = 258,15\\ \mathrm{K},
T_H = 30,3^\circ\mathrm{C} = 30,3 + 273,15 = 303,45\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} com os valores em Kelvin.
Substituindo na fórmula:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{258,15}{303,45 - 258,15}.
Calculo do denominador:
303,45 - 258,15 = 45,30\\ \mathrm{K}.
Agora a divisão:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{258,15}{45,30}.
Faço a divisão aproximada:
  • Note que 45,30 \times 5 = 226,50.
  • Resta 258,15 - 226,50 = 31,65.
  • 45,30 \times 0,6 = 27,18. Somando 5 + 0,6 = 5,6 226,50 + 27,18 = 253,68.
  • Resta 258,15 - 253,68 = 4,47.
  • 45,30 \times 0,0987 \approx 4,47.
    Portanto o quociente é aproximadamente 5,698\ldots.
Arredondando a duas casas decimais:
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} \approx 5,70.
Observação rápida e motivadora: o COP real fornecido ( 3,2) é menor que o COP de Carnot ( \approx 5,70), como era de esperar — nenhum freezer real supera o limite ideal de Carnot.

Resposta

(a) \displaystyle Q_H \approx 55,1\\ \mathrm{kJ}
(b) \displaystyle W \approx 13,1\\ \mathrm{kJ}
(c) \displaystyle \mathrm{COP}_{\max} \approx 5,70

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