O cálculo das derivadas parciais de uma função de duas variáveis é análogo ao cálculo das derivadas de funções com uma variável. Considere f uma função de duas variáveis, ou seja, z = f(x,y). Com base em informações, analise os itens que seguem. I. A inclinação da superfície z em direção a x é dada pela derivada parcial de f(x,y) em relação à y. II. A inclinação da superfície z em direção a y é dada pela derivada parcial de f(x,y) em relação à x. III. A derivada parcial de f(x,y) em relação a x pode ser interpretada como a taxa de variação da função em relação a x. Assinale a alternativa correta. Escolha uma:
a. Apenas o item I está correto.
b. Apenas o item II está correto.
c. Os itens I, II e III estão corretos.
d. Apenas o item III está correto.
e. Apenas os itens I e II estão corretos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja, uma função que depende de dois ingredientes, $ x $ e $ y $, e produz um resultado $ z = f(x, y) $. A gente precisa analisar três afirmações para ver quais estão certas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como elas representam a inclinação da superfície em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que você tem uma superfície tridimensional $ z = f(x, y) $. A derivada parcial em relação a $ x $, denotada por $ \frac{\partial f}{\partial x} $, mostra como $ z $ muda quando você varia apenas $ x $, mantendo $ y $ constante. Isso é como olhar para a inclinação da superfície na direção do eixo $ x $.

Passo 3

Analogamente, a derivada parcial em relação a $ y $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $, indica como $ z $ muda quando você varia apenas $ y $, mantendo $ x $ constante. É a inclinação na direção do eixo $ y $.

Passo 4

Agora, vamos analisar as afirmações:
I. A inclinação da superfície $ z $ em direção a $ x $ é dada pela derivada parcial de $ f(x,y) $ em relação à $ y $.
Aqui, a afirmação está trocando as variáveis. A inclinação em direção a $ x $ deveria ser dada pela derivada em relação a $ x $, não a $ y $. Então, esta afirmação está incorreta.

Passo 5

II. A inclinação da superfície $ z $ em direção a $ y $ é dada pela derivada parcial de $ f(x,y) $ em relação à $ x $.
De novo, temos a mesma troca. A inclinação em direção a $ y $ deveria ser dada pela derivada em relação a $ y $, não a $ x $. Portanto, esta afirmação também está incorreta.

Passo 6

III. A derivada parcial de $ f(x,y) $ em relação a $ x $ pode ser interpretada como a taxa de variação da função em relação a $ x $.
Essa afirmação está correta! Como vimos, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ mostra exatamente como $ z $ muda quando $ x $ varia, ou seja, é a taxa de variação de $ z $ em relação a $ x $.

Resposta

d. Apenas o item III está correto.

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