Visando acumular recursos para a aposentadoria, um indivíduo poupou, em um fundo de renda fixa, a quantia de
300
1,1 %$ a.m. Determine o montante sacado ao final do período.
Passo 1
O enunciado pede o montante (valor acumulado) sacado ao final de um período em que um indivíduo depositou
ao final de cada mês, durante
anos, obtendo taxa de
ao mês.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Pergunta que o enunciado faz: qual é o montante sacado ao final dos
meses?
Passo 2
O que vamos calcular (explicação do que é o montante de uma série de depósitos): cada depósito mensal cresce, até o final, de acordo com a taxa mensal. O montante total é a soma de todos esses depósitos atualizados até o fim. Se o depósito é feito ao final de cada mês (anuidade ordinária), o montante
depois de
depósitos de valor
com taxa
por período é dado pela soma geométrica
Vou agora ensinar como transformar essa soma em uma fórmula fechada que dá o resultado de forma prática.
Passo 3
Derivação da fórmula do montante (aula rápida de soma geométrica, passo a passo):
Escrevemos a soma como
Escrevemos a soma como
Isso é uma soma geométrica de razão
e
termos. A soma de uma PG com primeiro termo
e razão
é
Aqui
e
. Aplicando,
Portanto a fórmula do montante é
Explicando as variáveis:
é o montante final,
o depósito periódico,
a taxa por período (em forma decimal) e
o número de depósitos.
Passo 4
Agora vamos aplicar a fórmula com nossos números. Substituindo
,
e
:
A principal conta que precisamos avaliar é
. Vou mostrar uma forma prática de calcular isso com boa aproximação sem depender de uma “mágica de calculadora”: usar logaritmos/exponencial e séries para aproximar.
Passo 5
Cálculo de
usando logaritmo natural e aproximações series (explicando cada etapa):
Usamos a identidade
Usamos a identidade
Primeiro aproximamos
. Para
pequeno,
. Aqui
(pequeno), então
Calculando termo a termo (mostro os números para você poder reproduzir):
Somando:
Agora multiplico por
:
Então
Para calcular
podemos escrever
. Sabemos
. Para
usamos a expansão em série:
com
. Calculemos os termos:
Somando:
Agora multiplicamos:
Portanto
Passo 6
Continuando a conta do montante com esse valor aproximado:
Dividimos por
:
Multiplicando por
:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos
.
Passo 7
Interpretação e incentivo: isso significa que depósitos mensais de
durante
anos, à taxa alta de
ao mês, resultam em quase
mil. Você contribuiu
por
meses =
de capital próprio, o resto é rendimento composto ao longo do tempo — por isso o poder do regime de juros compostos é tão forte. Você está indo bem; essa técnica de derivar a fórmula e usar log/exp para potências grandes é útil em prova quando você precisa justificar o cálculo.