Visando acumular recursos para a aposentadoria, um indivíduo poupou, em um fundo de renda fixa, a quantia de \ 300 ao final de cada mês, durante 25 anos, obtendo assim, uma taxa deê1,1 %$ a.m. Determine o montante sacado ao final do período.

Passo 1

O enunciado pede o montante (valor acumulado) sacado ao final de um período em que um indivíduo depositou \$300 ao final de cada mês, durante 25 anos, obtendo taxa de 1,1\% ao mês.\n
Informações dadas:
\text{depósito periódico } R = \$300óó
\text{taxa mensal } i = 1,1\% = 0,011
\text{tempo } = 25\\ \text{anos} = 25 \times 12 = 300\\ \text{meses}
Pergunta que o enunciado faz: qual é o montante sacado ao final dos 300 meses?

Passo 2

O que vamos calcular (explicação do que é o montante de uma série de depósitos): cada depósito mensal cresce, até o final, de acordo com a taxa mensal. O montante total é a soma de todos esses depósitos atualizados até o fim. Se o depósito é feito ao final de cada mês (anuidade ordinária), o montante S depois de n depósitos de valor R com taxa i por período é dado pela soma geométrica
S = R(1+i)^{n-1} + R(1+i)^{n-2} + \cdots + R(1+i) + R.
Vou agora ensinar como transformar essa soma em uma fórmula fechada que dá o resultado de forma prática.

Passo 3

Derivação da fórmula do montante (aula rápida de soma geométrica, passo a passo):
Escrevemos a soma como
S = R \sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k.
Isso é uma soma geométrica de razão 1+i e n termos. A soma de uma PG com primeiro termo a_1 e razão q é
\sum_{k=0}^{n-1} a_1 q^k = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}.
Aqui a_1 = 1 e q = 1+i. Aplicando,
\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^k = \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i)-1} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}.
Portanto a fórmula do montante é
\boxed{S = R\cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}}.
Explicando as variáveis: S é o montante final, R o depósito periódico, i a taxa por período (em forma decimal) e n o número de depósitos.

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula com nossos números. Substituindo R=\$300, i=0,011 e n=300:
S = 300 \cdot \frac{(1+0,011)^{300} - 1}{0,011} = 300 \cdot \frac{(1,011)^{300} - 1}{0,011}.
A principal conta que precisamos avaliar é (1,011)^{300}. Vou mostrar uma forma prática de calcular isso com boa aproximação sem depender de uma “mágica de calculadora”: usar logaritmos/exponencial e séries para aproximar.

Passo 5

Cálculo de (1,011)^{300} usando logaritmo natural e aproximações series (explicando cada etapa):
Usamos a identidade
(1,011)^{300} = e^{300 \ln(1,011)}.
Primeiro aproximamos \ln(1,011). Para x pequeno, \ln(1+x) \approx x - \tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{3}}{3} - \cdots. Aqui x=0,011 (pequeno), então
\ln(1,011) \approx 0,011 - \frac{0,011^{2}}{2} + \frac{0,011^{3}}{3}.
Calculando termo a termo (mostro os números para você poder reproduzir):
0,011^{2} = 0,000121,\quad \frac{0,011^{2}}{2} = 0,0000605,
0,011^{3} = 0,000001331,\quad \frac{0,011^{3}}{3} \approx 0,000000444.
Somando:
\ln(1,011) \approx 0,011 - 0,0000605 + 0,000000444 \approx 0,010939944.
Agora multiplico por 300:
300\ln(1,011) \approx 300 \times 0,010939944 \approx 3,2819832.
Então
(1,011)^{300} \approx e^{3,2819832}.
Para calcular e^{3,2819832} podemos escrever e^{3,2819832}=e^{3}\cdot e^{0,2819832}. Sabemos e^{3}\approx 20,085537. Para e^{0,2819832} usamos a expansão em série:
e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24},
com x=0,2819832. Calculemos os termos:
x = 0,2819832,
x^{2} \approx 0,079515,\quad \frac{x^{2}}{2}\approx 0,0397575,
x^{3} \approx 0,022421,\quad \frac{x^{3}}{6}\approx 0,0037368,
x^{4} \approx 0,006324,\quad \frac{x^{4}}{24}\approx 0,0002635.
Somando:
e^{0,2819832} \approx 1 + 0,2819832 + 0,0397575 + 0,0037368 + 0,0002635 \approx 1,3257409.
Agora multiplicamos:
e^{3,2819832} \approx 20,085537 \times 1,3257409 \approx 26,628235.
Portanto
(1,011)^{300} \approx 26,628235.

Passo 6

Continuando a conta do montante com esse valor aproximado:
(1,011)^{300} - 1 \approx 26,628235 - 1 = 25,628235.
Dividimos por i=0,011:
\frac{25,628235}{0,011} \approx 2330,748636.
Multiplicando por R=300:
S \approx 300 \times 2330,748636 \approx 699224,5908.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos S \approx \$699224,59.

Passo 7

Interpretação e incentivo: isso significa que depósitos mensais de \$300 durante 25 anos, à taxa alta de 1,1\% ao mês, resultam em quase \$700 mil. Você contribuiu \$300 por 300 meses = \$90.000 de capital próprio, o resto é rendimento composto ao longo do tempo — por isso o poder do regime de juros compostos é tão forte. Você está indo bem; essa técnica de derivar a fórmula e usar log/exp para potências grandes é útil em prova quando você precisa justificar o cálculo.

Resposta

\$699.224,59

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