Exercício 2.4.17. Prove que
(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!(n-p)!} a^{n-p} b^{p}
onde a, b \in \mathbb{R} e n \in \mathbb{N}. A fórmula acima é conhecida binômio de Newton.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!(n-p)!} a^{n-p} b^{p},
onde a,b\in\mathbb{R} e n\in\mathbb{N}.\n
Informações dadas:
  • Temos dois números reais a e b.\n
  • Temos um inteiro natural n (ou seja, n=0,1,2,\dots).\n
  • O objetivo é mostrar que a potência (a+b)^{n} se expande como uma soma de termos da forma a^{n-p}b^{p} multiplicados por coeficientes \dfrac{n!}{p!(n-p)!} para p=0,1,\dots,n.\n

Passo 2

Antes de começar a prova, vamos definir cuidadosamente as notações que aparecem na fórmula e dar uma intuição do que significam.
Definições:
n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n
é o fatorial de n. Por convensão, \;0! = 1\;.
O coeficiente que aparece na fórmula é o coeficiente binomial, definido por
\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!},
para 0\le p\le n. Esse número conta, em linguagem de combinatória, de quantas formas diferentes podemos escolher p elementos entre n (sem ordem).
Exemplo numérico simples para fixar ideia: \displaystyle \binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6. Ou seja, existem 6 maneiras de escolher 2 elementos entre 4.
Reescrevendo a identidade usando essa notação,
(a+b)^n=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p} a^{\,n-p} b^{\,p}.

Passo 3

Vou provar a identidade por indução sobre n. Indução é uma técnica que funciona assim: mostramos que a fórmula é verdadeira para um caso base (por exemplo n=0), e então mostramos que se for verdadeira para um n qualquer, ela também é verdadeira para n+1. Isso garante que ela vale para todo n\in\mathbb{N}.
Primeiro, o caso base.
Caso base ( n=0):
(a+b)^0 = 1.
Pelo lado direito da identidade, o somatório vai de p=0 a 0, então é apenas o termo p=0:
\sum_{p=0}^{0}\binom{0}{p}a^{0-p}b^{p}=\binom{0}{0}a^{0}b^{0}=1\cdot 1\cdot 1=1,
pois \binom{0}{0}=1 e a^0=b^0=1. Logo a fórmula vale para n=0.

Passo 4

Agora a hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo n\ge 0; isto é, suponha que
(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}.
A meta é provar que, a partir disso, a fórmula também vale para n+1, ou seja,
(a+b)^{n+1}=\sum_{p=0}^{n+1}\binom{n+1}{p}a^{\,n+1-p}b^{\,p}.

Passo 5

Partimos da hipótese e multiplicamos ambos os lados por (a+b):
(a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot (a+b)^{n}=(a+b)\cdot \sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}.
Agora vamos distribuir (a+b) sobre a soma e separar em duas somas:
(a+b)^{n+1}=a\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}+b\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}.

Passo 6

Simplificamos os expoentes em cada soma:
Na primeira soma, multiplicando por a aumenta o expoente de a em 1:
a\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n+1-p}b^{\,p}.
Na segunda soma, multiplicando por b aumenta o expoente de b em 1:
b\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p+1}.
Portanto
(a+b)^{n+1}=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n+1-p}b^{\,p}+\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p+1}.

Passo 7

Para somar essas duas somas em uma única soma indexada por um mesmo expoente de b, reindexamos a segunda soma. Na segunda soma faça a mudança de índice q=p+1. Quando p varia de 0 até n, q varia de 1 até n+1. Substituindo p=q-1 obtemos
\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p+1}=\sum_{q=1}^{n+1}\binom{n}{q-1}a^{\,n+1-q}b^{\,q}.
(Aqui troquei o rótulo p por q só para não confundir com a primeira soma.)
Agora escrevemos a primeira soma também usando índice q (apenas renomeando p para q):
\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n+1-p}b^{\,p}=\sum_{q=0}^{n}\binom{n}{q}a^{\,n+1-q}b^{\,q}.

Passo 8

Somando as duas somas reindexadas temos uma soma única em q, de q=0 até q=n+1. Para cada q intermediário (ou seja, 1\le q\le n) aparecem dois termos que se somam; para q=0 só aparece o termo da primeira soma; para q=n+1 só aparece o termo da segunda soma. Assim:
(a+b)^{n+1}=\sum_{q=0}^{n+1}\Big(\binom{n}{q}+\binom{n}{q-1}\Big)a^{\,n+1-q}b^{\,q},
onde usamos a convenção \binom{n}{-1}=0 e \binom{n}{n+1}=0 para que a fórmula valha também nas extremidades q=0 e q=n+1.

Passo 9

Agora usamos a identidade de Pascal, que diz que para todo n e q
\binom{n}{q}+\binom{n}{q-1}=\binom{n+1}{q}.
Vou demonstrar essa identidade por álgebra de fatoriais (é rápido e direto). Começamos com os dois termos da soma:
\binom{n}{q}+\binom{n}{q-1}=\frac{n!}{q!(n-q)!}+\frac{n!}{(q-1)!(n-q+1)!}.
Colocando sob o mesmo denominador q!(n-q+1)! e fatorando n! obtemos
\frac{n!}{q!(n-q)!}\cdot\frac{n-q+1}{n-q+1}+\frac{n!}{(q-1)!(n-q+1)!}\cdot\frac{q}{q} =\frac{n!(n-q+1)+n!q}{q!(n-q+1)!}.
Fatorando n! no numerador:
\frac{n!(n-q+1+q)}{q!(n-q+1)!}=\frac{n!(n+1)}{q!(n-q+1)!}=\frac{(n+1)!}{q!(n+1-q)!}=\binom{n+1}{q}.
Assim a identidade de Pascal está provada.

Passo 10

Substituindo a soma de coeficientes pela forma \binom{n+1}{q} na expressão do Passo 8, obtemos
(a+b)^{n+1}=\sum_{q=0}^{n+1}\binom{n+1}{q}a^{\,n+1-q}b^{\,q}.
Isso demonstra que, se a fórmula vale para n, então vale para n+1. Juntando com o caso base ( n=0), por indução a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 11

Para fixar a intuição, aqui vai uma explicação combinatória rápida (não necessária para a prova por indução, mas muito útil para entender por que os coeficientes binomiais aparecem):
Ao expandir (a+b)^n=(a+b)(a+b)\cdots(a+b) (produto de n fatores), cada termo do polinômio expansível é obtido escolhendo em cada um dos n parênteses ou o a ou o b, e multiplicando as escolhas. Se em uma escolha aparecem exatamente p vezes o b (e, portanto, n-p vezes o a), o termo resultante é a^{\,n-p}b^{\,p}. Quantas escolhas diferentes produzem esse mesmo monômio? Exatamente de quantas formas podemos escolher quais p dos n parênteses fornecerão o b: isso é \binom{n}{p}. Logo o coeficiente de a^{\,n-p}b^{\,p} é \binom{n}{p}. Isso dá diretamente
(a+b)^n=\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}a^{\,n-p}b^{\,p}.
Exemplo concreto: para n=3, as escolhas geram termos a^3, a^2b, ab^2, b^3. O termo a^2b ocorre para cada escolha de qual dos 3 fatores dá o b, ou seja \binom{3}{1}=3 vezes, então o coeficiente de a^2b é 3 — o que corresponde ao conhecido desenvolvimento (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Resposta

(a+b)^{n}=\sum_{p=0}^{n} \frac{n!}{p!(n-p)!} a^{n-p} b^{p}

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