Exercício 2.4.17. Prove que
onde
e
. A fórmula acima é conhecida binômio de Newton.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
onde
e
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- Temos dois números reais
e .\n - Temos um inteiro natural
(ou seja, ).\n - O objetivo é mostrar que a potência
se expande como uma soma de termos da forma multiplicados por coeficientes para .\n
Passo 2
Antes de começar a prova, vamos definir cuidadosamente as notações que aparecem na fórmula e dar uma intuição do que significam.
Definições:
é o fatorial de
. Por convensão,
O coeficiente que aparece na fórmula é o coeficiente binomial, definido por
para
. Esse número conta, em linguagem de combinatória, de quantas formas diferentes podemos escolher
elementos entre
(sem ordem).
Exemplo numérico simples para fixar ideia:
. Ou seja, existem 6 maneiras de escolher 2 elementos entre 4.
Reescrevendo a identidade usando essa notação,
Passo 3
Vou provar a identidade por indução sobre
. Indução é uma técnica que funciona assim: mostramos que a fórmula é verdadeira para um caso base (por exemplo
), e então mostramos que se for verdadeira para um
qualquer, ela também é verdadeira para
. Isso garante que ela vale para todo
.
Primeiro, o caso base.
Caso base (
):
Pelo lado direito da identidade, o somatório vai de
a
, então é apenas o termo
:
pois
e
. Logo a fórmula vale para
.
Passo 4
Agora a hipótese de indução. Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo
; isto é, suponha que
A meta é provar que, a partir disso, a fórmula também vale para
, ou seja,
Passo 5
Partimos da hipótese e multiplicamos ambos os lados por
:
Agora vamos distribuir
sobre a soma e separar em duas somas:
Passo 6
Simplificamos os expoentes em cada soma:
Na primeira soma, multiplicando por
aumenta o expoente de
em
:
Na segunda soma, multiplicando por
aumenta o expoente de
em
:
Portanto
Passo 7
Para somar essas duas somas em uma única soma indexada por um mesmo expoente de
, reindexamos a segunda soma. Na segunda soma faça a mudança de índice
. Quando
varia de
até
,
varia de
até
. Substituindo
obtemos
(Aqui troquei o rótulo
por
só para não confundir com a primeira soma.)
Agora escrevemos a primeira soma também usando índice
(apenas renomeando
para
):
Passo 8
Somando as duas somas reindexadas temos uma soma única em
, de
até
. Para cada
intermediário (ou seja,
) aparecem dois termos que se somam; para
só aparece o termo da primeira soma; para
só aparece o termo da segunda soma. Assim:
onde usamos a convenção
e
para que a fórmula valha também nas extremidades
e
.
Passo 9
Agora usamos a identidade de Pascal, que diz que para todo
e
Vou demonstrar essa identidade por álgebra de fatoriais (é rápido e direto). Começamos com os dois termos da soma:
Colocando sob o mesmo denominador
e fatorando
obtemos
Fatorando
no numerador:
Assim a identidade de Pascal está provada.
Passo 10
Substituindo a soma de coeficientes pela forma
na expressão do Passo 8, obtemos
Isso demonstra que, se a fórmula vale para
, então vale para
. Juntando com o caso base (
), por indução a fórmula vale para todo
.
Passo 11
Para fixar a intuição, aqui vai uma explicação combinatória rápida (não necessária para a prova por indução, mas muito útil para entender por que os coeficientes binomiais aparecem):
Ao expandir
(produto de
fatores), cada termo do polinômio expansível é obtido escolhendo em cada um dos
parênteses ou o
ou o
, e multiplicando as escolhas. Se em uma escolha aparecem exatamente
vezes o
(e, portanto,
vezes o
), o termo resultante é
. Quantas escolhas diferentes produzem esse mesmo monômio? Exatamente de quantas formas podemos escolher quais
dos
parênteses fornecerão o
: isso é
. Logo o coeficiente de
é
. Isso dá diretamente
Exemplo concreto: para
, as escolhas geram termos
. O termo
ocorre para cada escolha de qual dos 3 fatores dá o
, ou seja
vezes, então o coeficiente de
é 3 — o que corresponde ao conhecido desenvolvimento
.