A viscosidade da água a 20^{\circ} \mathrm{C} é 0,001 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}, e a 80^{\circ} \mathrm{C} é 3,57.10^{-4} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}. Utilizando a Equação de Andrade, determinar: (a) a viscosidade da água a 40^{\circ} \mathrm{C}, e (b) o erro percentual em relação ao valor tabelado nos livros, para esta mesma temperatura. Dado: \mathrm{K} \approx{ }^{\circ} \mathrm{C}+273.

Passo 1

O enunciado fornece as viscosidades dinâmicas da água a 20^{\circ}\mathrm{C} e a 80^{\circ}\mathrm{C}, e pede (a) a viscosidade a 40^{\circ}\mathrm{C} e (b) o erro percentual em relação ao valor tabelado. O conteúdo é a Equação de Andrade, que relaciona viscosidade \mu e temperatura absoluta T por
\mu(T) = A \exp\!\bigl(B/T\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 2

Primeiro convertemos as temperaturas para Kelvin:
T_1 = 20 + 273 = 293\:\mathrm{K},\quad T_2 = 80 + 273 = 353\:\mathrm{K},\quad T_3 = 40 + 273 = 313\:\mathrm{K}.
Dados:
\mu_1 = 1{,}00\times10^{-3}\:\mathrm{N\,s/m^2} a T_1 e
\mu_2 = 3{,}57\times10^{-4}\:\mathrm{N\,s/m^2} a T_2.
Tomando o logaritmo natural em \mu = A e^{B/T} temos
\ln\mu = \ln A + \frac{B}{T}.

Passo 3

Subtraindo as equações para \mu_1 e \mu_2 obtemos
\ln\mu_1 - \ln\mu_2 = B\Bigl(\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}\Bigr).
Logo
B = \frac{\ln(\mu_1/\mu_2)}{\tfrac{1}{T_1}-\tfrac{1}{T_2}} = \frac{\ln\bigl(1{,}00\times10^{-3}/3{,}57\times10^{-4}\bigr)}{1/293-1/353} \approx 1{,}776\times10^{3}\:\mathrm{K}.

Passo 4

Para achar A, voltamos em \ln\mu_1 = \ln A + B/T_1, daí
\ln A = \ln\mu_1 - \frac{B}{T_1} = \ln(1{,}00\times10^{-3}) - \frac{1{,}776\times10^{3}}{293} \approx -12{,}9677,
então
A = \exp(-12{,}9677)\approx 2{,}35\times10^{-6}\:\mathrm{N\,s/m^2}.

Passo 5

Agora calculamos a viscosidade a T_3=313\:\mathrm{K}:
\ln\mu_3 = \ln A + \frac{B}{T_3} = -12{,}9677 + \frac{1{,}776\times10^{3}}{313} \approx -7{,}2949,
logo
\mu_3 = \exp(-7{,}2949)\approx 6{,}82\times10^{-4}\:\mathrm{N\,s/m^2}.

Passo 6

O valor tabelado da viscosidade da água a 40^{\circ}\mathrm{C} é cerca de
\mu_{\text{tab}}=6{,}53\times10^{-4}\:\mathrm{N\,s/m^2}.
O erro percentual é
\frac{\mu_3 - \mu_{\text{tab}}}{\mu_{\text{tab}}}\times100\% = \frac{6{,}82-6{,}53}{6{,}53}\times100\% \approx 4{,}4\%\text{ (superestimação).}çã

Resposta

(a) \mu(40^{\circ}\mathrm{C})\approx6{,}82\times10^{-4}\:\mathrm{N\,s/m^{2}}.
(b) Erro percentual \approx4{,}4\%.

Exercícios relacionados