Um disco horizontal de 15 cm de diâmetro gira no sentido anti-horário a uma distância de 0,2 cm acima de uma superfície sólida. A água preenche a lacuna entre os dois. Estimar o torque necessário para girar o disco a 400 rpm . Fazer ilustração do problema. Dado: \mu_{\mathrm{a}}=10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O problema dá um disco horizontal de diâmetro \,15\text{ cm} que gira a 400 rpm num sentido anti-horário, a uma distância \,0{,}2\text{ cm} acima de uma superfície sólida, com água (viscosidade dinâmica \mu=10^{-3}\,\mathrm{N\cdot s/m^2}) preenchendo a lacuna. Queremos estimar o torque viscoso necessário para manter essa rotação. O conteúdo usado é o escoamento de Couette entre um disco giratório e uma placa fixa, e vamos precisar calcular a distribuição de tensão de cisalhamento e integrar o torque resultante sobre toda a área do disco.

Passo 2

Ilustração esquemática (vista lateral):
Rotating disk, radius R
———————
|\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad|
———————
\,h
———————
| Surface | (fixa)
———————
Definimos:
R = \frac{15\text{ cm}}{2} = 7{,}5\text{ cm} = 0{,}075\text{ m},\quad h = 0{,}2\text{ cm} = 0{,}002\text{ m}.

Passo 3

Transformamos a rotação em velocidade angular:
\Omega = 400\;\frac{\text{rev}}{\min}\times \frac{2\pi\;\text{rad}}{1\;\text{rev}}\times\frac{1\;\min}{60\;\text{s}} = \frac{400\cdot2\pi}{60}\;\mathrm{rad/s} \approx 41{,}89\;\mathrm{rad/s}.

Passo 4

No escoamento de Couette, a velocidade do fluido varia linearmente de zero (na placa fixa) até v(r)=\Omega\,r (na face inferior do disco), em fissura de espessura h. A tensão de cisalhamento é
\tau(r) \;=\;\mu\,\frac{dv}{dz} =\mu\,\frac{\Omega\,r}{h}.
Num anel de raio r e espessura dr, a força de cisalhamento vale \tau(r)\cdot 2\pi r\,dr, e o torque elemental é essa força vezes o braço r:
dT = \tau(r)\,2\pi r\,dr\;\times r =2\pi\,\mu\,\frac{\Omega\,r}{h}\;r\,dr\;r =2\pi\,\frac{\mu\,\Omega}{h}\;r^3\,dr.
Integrando de r=0 a r=R:
T = \int_{0}^{R}dT =2\pi\,\frac{\mu\,\Omega}{h}\int_{0}^{R}r^3\,dr =2\pi\,\frac{\mu\,\Omega}{h}\;\frac{R^4}{4} =\frac{\pi\,\mu\,\Omega\,R^4}{2\,h}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
R^4 = (0,075)^4 \approx 3,164\times10^{-5}\,\mathrm{m^4}, \quad \frac{\mu}{h}=\frac{10^{-3}}{0,002}=0,5\;\mathrm{N\cdot s/(m^3)},
T = \frac{\pi\,(0,5)\,(41,89)\,(3,164\times10^{-5})}{2} \approx 1,04\times 10^{-3}\;\mathrm{N\cdot m}.

Resposta

O torque necessário é aproximadamente
T\approx 1{,}0\times10^{-3}\;\mathrm{N\cdot m}.

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