A viscosidade de um fluido deve ser medida em um viscosímetro por meio de dois cilindros concêntricos com 40 cm de comprimento. O cilindro interno sofre a ação de torque sendo possível determinar mu. O diâmetro do cilindro interno é de 12 cm e a folga entre os cilindros é de 0,15 m. O cilindro interno rotaciona a 300 rpm . O torque medido é de 1,8 N m. Calcule mu.

Passo 1

Beleza, então o que a questão tá pedindo?
Temos um viscosímetro de dois cilindros concêntricos: o interno (diâmetro 12 cm) gira a 300 rpm e o externo tá parado, com uma folga de 0,15 m entre eles. Comprimento dos cilindros: 40 cm. Mediram um torque de 1,8 N·m no cilindro interno. Queremos descobrir a viscosidade μ do fluido.
Conteúdo: escoamento de Couette entre cilindros e relação entre torque e viscosidade. A gente vai precisar converter rpm em rad/s, lembrar como se faz o perfil de velocidade entre cilindros e a expressão do torque em função de μ.

Passo 2

Primeiro transformamos as medidas em unidades do SI e calculamos o que falta:
  • Raio interno: ri = 12,cm2 = 0,06;m
    - Folga: 0,15 m → raio externo:
    ro = ri + 0,15 = 0,06 + 0,15 = 0,21;m
  • Comprimento: L = 0,40;m
    - Velocidade angular (300 rpm → rad/s):
    $$\omega = 300;\frac{voltas}{\min} \times \frac{2\pi;rad}{1;volta} \times \frac{1;\min}{60;s}= 10\pi;rad/s.$$

Passo 3

Agora a teoria: para escoamento laminar entre cilindros concêntricos, a velocidade azimutal utheta(r)=A,r + Br satisfaz a equação de Navier–Stokes em regime permanente e sem pressão, e tem a forma
utheta(ri)=omega,ri, utheta(ro)=0,
Com as condições de contorno
M = tau(ri)timesáreatimes ri =l[mu,duthetadr|rir],(2pi ri L),ri
a gente resolve pra M =2pi,mu,L,omega, ri^2,(ri^2 + ro^2),ro^2 - ri^2, e boxed mu =M,(ro^2 - ri^2)2pi,L,omega,ri^2,(ri^2 + ro^2) . Depois, o torque sobre o cilindro interno vem de
á
Fazendo toda a conta (ou lembrando o resultado padrão), chega-se à expressão

Agora basta isolar :

Passo 4

É hora de enfiar os números nessa fórmula:
  • mu =1,8times 0,04052pitimes0,40times(10pi)times0,0036times0,0477 approx5,37;Pacdot s
Substituindo:

Resposta

A viscosidade calculada é aproximadamente
boxedmu approx 5,37;Pacdot s

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