Como visto no Problema 22, nanofios de carbeto de silício, de diâmetro
, podem ser formados sobre uma superfície sólida de carbeto de silício a partir da colocação cuidados de gotas de um catalisador líquido sobre o substrato plano de carbeto de silício. Nanofios de carbeto de silício crescem a partir das gotas depositadas e, se as gotas forem depositadas seguindo um padrão, um conjunto de aletas de nanofios pode ser gerado, formando um nanodissipador de calor de carbeto de silício. Sejam pacotes eletrônicos com aletas e sem aletas, nos quais um dispositivo eletrônico extremamente pequeno,
, encontra-se posicionado entre duas folhas de carbeto de silício com espessura, cada uma,
. Em ambos os casos, o refrigerante é um líquido dielétrico a
. Um coeficiente de transferência de calor
pode ser considerado no topo e no fundo do pacote sem aletas e em todas as superfícies das
aletas de carbeto de silício expostas. Cada aleta em um comprimento de
. Cada nanodissipador de calor tem um conjunto de
nanoaletas. Determine a máxima taxa de calor que pode se gerada pelo dispositivo eletrônico de tal forma que sua temperatura seja mantida a
nos conjuntos sem aletas e com aletas. citeincropera
aletas de carbeto de silício expostas. Cada aleta em um comprimento de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei alguns valores diretamente da figura):
- Dimensões do dispositivo eletrônico:
. (Peguei da imagem.) - Espessura de cada folha de carbeto de silício:
. - Temperatura do fluido refrigerante (ambiente):
. - Coeficiente convectivo nas superfícies expostas:
. - Nanofins: diâmetro
, comprimento (altura) . - Quantidade de nanoaletas por conjunto:
. - Temperatura máxima do dispositivo exigida:
(logo a maior queda de temperatura permitida em relação ao fluido é ). - O enunciado pede: determinar a máxima taxa de calor gerada
que mantém para (a) pacote sem aletas e (b) pacote com as nanoaletas.
Observações / suposições necessárias (claras e justificadas):
- A área de contato vertical para condução é a área do dispositivo:
. - O calor sai simetricamente pelas duas faces (superior e inferior) — circuito térmico com dois ramos idênticos em paralelo.
- Vou usar condutividade térmica típica do carbeto de silício:
. (Este valor é um valor típico usado em referências como Incropera & DeWitt; se o seu enunciado usar outro , substituir e recalcular.) - Assumo que o conjunto de
nanoaletas está presente em cada face (superior e inferior). Se o enunciado original significar outra coisa, ajustar N conforme necessário. - Considerarei para as aletas a formulação clássica de “pin fins” cilíndricos: a transferência de calor de cada aleta é aproximada por
com calculada abaixo.
Pronto — agora começamos os cálculos.
Passo 2
Resistências térmicas relevantes (caso sem aletas). Montagem do circuito térmico e fórmulas usadas (explicadas):
- Física envolvida: o calor gerado no dispositivo conduz pela folha de SiC até a face externa, e aí é removido por convecção. Para fluxo unidimensional a resistência por condução de uma camada uniforme é
onde
é a condutividade térmica do material e
é a área da seção transversal para condução.
- A resistência convectiva na face exterior é
onde
é o coeficiente convectivo e
é a área exposta.
Como há duas faces idênticas (superior e inferior) que retiram calor em paralelo, a resistência total vista pelo gerador é a associação paralela dessas duas “cadeias” condutiva+convectiva.
Calculemos os valores numéricos (vou mostrar contas passo a passo):
- Área do dispositivo:
- Resistência por condução de uma face (espessura
):
Calcule:
- Resistência convectiva de uma face (mesma área):
- Resistência total de uma face (série: condução + convecção):
- Duas faces iguais em paralelo: resistência total do caminho dispositivo→ambiente:
- A queda de temperatura máxima permitida entre dispositivo e fluido é
. Assim a potência máxima removível é
Calcule:
Interpretação curta: sem aletas, a resistência convectiva é muito maior do que a condutiva, e a potência permissível é da ordem de 1 mW.
Passo 3
Caso com nanoaletas — formulação, cálculo da eficiência das aletas e da nova resistência convectiva.
Estratégia didática:
- Cada aleta cilíndrica (pin fin) tem área lateral
. - A eficiência aproximada da aleta cilíndrica, para a aproximação usual (1D) quando se usa o parâmetro
definido por
onde
é o perímetro da seção transversal da aleta e
é a área da seção transversal. Para um cilindro de diâmetro
vale
e
, portanto
e
- Para uma aleta relativamente curta a eficiência aproximada (caso com ponta tratada como isolada ou efeito da ponta pequeno quando
é pequeno) pode ser tomada como
(Incropera & DeWitt apresentam fórmulas desse tipo para perfis de seção constante; para
teremos
.)
Calculemos passos:
- Número de aletas por face (assumido):
. - Área lateral de uma aleta:
- Parâmetro
:
Calcule:
logo
- Produto
:
Como
, esperamos alta eficiência.
- Eficiência da aleta:
Calculando numericamente:
Portanto as nanoaletas são muito eficientes (praticamente isotermais).
- Área total de troca convectiva por face, incluindo superfície plana exposta e aletas:
onde
é a área do plano base.
Calcule:
Multiplicando pela eficiência:
Somando a área da base:
- Condutância convectiva de uma face com aletas:
Logo
- Resistência total de uma face (série com a condução pela folha):
- Duas faces em paralelo:
- Potência máxima removível com aletas (mesma
):
Passo 4
Resultados comparativos e interpretação (resumo didático):
- Sem aletas a resistência convectiva domina e
é muito pequeno (ordem de W). - Com as nanoaletas a área efetiva de troca convectiva por face aumenta, reduzindo
por face e aumentando . No cálculo acima a potência máxima aumentou de aproximadamente para aproximadamente , um ganho de cerca de vezes.
Observações finais / sensibilidade:
- O resultado depende fortemente de
e da hipótese de que o calor conduz verticalmente com área (sem espalhamento lateral significativo). Se houver espalhamento térmico lateral no substrato a resistência efetiva por condução pode diminuir (melhorando ). - O número de aletas por face e o espaçamento real influenciam: se as
forem totais divididas entre as duas faces ou se uma face tiver menos aletas, o muda proporcionalmente. - A aproximação usada para
é adequada aqui porque , resultando em aletas quase isotermais.
Boa notícia: com as nanoaletas esse micro-dispositivo pode dissipar várias vezes mais potência — ótimo para quem está tentando manter o chip frio. Vai dar pra fazer uns testes na prova com esses números!