Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x=t^{2} e y=t^{3}-3 t.
(a) Mostre que C tem duas tangentes no ponto (3,0) e encontre suas equações.
(b) Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou vertical.
(c) Determine os intervalos do parâmetro t onde a curva C sobe (crescente) e onde desce (decrescente).
(d) Determine os intervalos do parâmetro t onde a curva C é côncava para baixo e onde é côncava para cima.
Passo 1
O enunciado dá a curva C por parámetro t com
x=t^{2},\qquad y=t^{3}-3t.
As perguntas são:
(a) Mostrar que C tem duas tangentes no ponto (3,0) e encontrar suas equações.
(b) Encontrar os pontos em C onde a tangente é horizontal ou vertical.
(c) Determinar os intervalos de t em que a curva sobe (é crescente) e onde desce (é decrescente).
(d) Determinar os intervalos de t onde a curva é côncava para baixo e onde é côncava para cima.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A parametrização completa: x(t)=t^{2}, y(t)=t^{3}-3t.
O ponto de interesse em (a): (3,0), que correspondem a valores de t com t^{2}=3.
Para analisar tangentes e monotonicidade precisamos das derivadas \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} e a derivada \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt} (quando dx/dt\neq0).
Para concavidade usaremos a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\big/ \dfrac{dx}{dt} (quando dx/dt\neq0).
Passo 2
Vou calcular as derivadas em termos de t e explicar por que elas servem para achar inclinações de tangente e monotonicidade.
Explicação do porquê: a derivada de x em relação a t é 2t pela regra do poder; a de y é 3t^{2}-3. Quando a curva está parametrizada por t, a inclinação da tangente no plano (derivada de y em relação a x) é obtida pela regra da cadeia:
Parte (a): encontrar os valores de t que correspondem ao ponto (3,0) e as duas tangentes.
Primeiro: para obter (x,y)=(3,0) a partir de x=t^{2} e y=t^{3}-3t verificamos t^{2}=3, logo
t=\pm\sqrt{3}.
Verifico y nesses t: como y=t(t^{2}-3), para t^{2}=3 temos y=t(3-3)=0. Portanto ambos os valores t=\sqrt{3} e t=-\sqrt{3} correspondem ao mesmo ponto (3,0) — por isso a curva passa por (3,0) duas vezes com direções possivelmente diferentes, dando duas tangentes.
Agora calculo a inclinação \dfrac{dy}{dx} em cada um:
Parte (b): pontos onde a tangente é horizontal ou vertical.
Tangente horizontal ocorre quando \dfrac{dy}{dx}=0, isto é quando \dfrac{dy}{dt}=0 (e \dfrac{dx}{dt}\neq0). Resolvendo \dfrac{dy}{dt}=3(t^{2}-1)=0 obtemos
Tangente vertical ocorre quando \dfrac{dx}{dt}=0 mas \dfrac{dy}{dt}\neq0. Resolvo \dfrac{dx}{dt}=2t=0\Rightarrow t=0. Em t=0 temos \dfrac{dy}{dt}=3(0^{2}-1)=-3\neq0, logo a tangente é vertical no ponto
Os pontos críticos que mudam o sinal são t=-1, t=0, t=1.
Faço análise de sinais por intervalos:
Para t>1: t^{2}-1>0 e t>0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}>0 (curva sobe).
Para 0<t<1: t^{2}-1<0 e t>0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}<0 (curva desce).
Para -1<t<0: t^{2}-1<0 e t<0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}>0 (curva sobe).
Para t<-1: t^{2}-1>0 e t<0\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}<0 (curva desce).
Portanto:
A curva sobe (é crescente) para t\in(-1,0)\cup(1,\infty).
A curva desce (é decrescente) para t\in(-\infty,-1)\cup(0,1).
Observações: em t=\pm1 a tangente é horizontal; em t=0 a derivada \dfrac{dy}{dx} não está definida (tangente vertical), por isso 0 é um ponto de separação entre intervalos.
Passo 6
Parte (d): concavidade — calcular a segunda derivada \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} e analisar o seu sinal.
Cálculo passo a passo. Já temos \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\Bigl(t-\dfrac{1}{t}\Bigr). Derivo isso em relação a t:
Agora analiso o sinal. Note que t^{2}+1>0 para todo t. Assim o sinal de \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} é o mesmo do sinal de t^{3}, ou seja do sinal de t:
Se t>0 então \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\Rightarrow curva côncava para cima.
Se t<0 então \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}<0\Rightarrow curva côncava para baixo.
Em t=0 a segunda derivada não está definida (nem a primeira), e é de fato o ponto onde a concavidade muda de sinal (de côncava para baixo quando t<0 para côncava para cima quando t>0), portanto t=0 é uma separação de concavidades.
Passo 7
Recapitulando as conclusões obtidas nos passos anteriores (sem repetir deduções), para responder objetivamente cada item:
Resposta
(a) y=\sqrt{3}\,(x-3) \ y=-\sqrt{3}\,(x-3)
(b) Tangentes horizontais: (1,-2) e (1,2). \
Tangente vertical: (0,0).
(c) Cresce para t\in(-1,0)\cup(1,\infty). \
Decresce para t\in(-\infty,-1)\cup(0,1).
(d) Côncava para cima para t\in(0,\infty). \
Côncava para baixo para t\in(-\infty,0).