obtenha
da função:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para obter
.
Informações relevantes:
-
e são radicais; portanto assumimos e . Para dividir por raízes (ao isolar a derivada) precisamos de e . -
é uma constante (logo é constante em relação a ). - Precisamos encontrar a derivada de
em relação a sem resolver explicitamente para (podemos usar diferenciação implícita).
Passo 2
Lembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivada de raiz):
- A derivada da função
em relação a , onde , é dada por
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Isso é a regra da cadeia: primeiro derivamos a forma externa
, que dá
, e depois multiplicamos pela derivada do interior.
Aplicando isso a
(onde
) e a
(onde
) teremos termos com
.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
, aplicando a fórmula do passo anterior:
- Para
: . - Para
: (porque depende de ). - Para
: como é constante, .
Portanto a diferenciação implícita dá:
Passo 4
Agora resolvemos essa equação para
.
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Isolando o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Podemos escrever a resposta de forma alternativa e um pouco mais compacta:
Observação sobre domínio: essa expressão exige
e
; se
a derivada vale
(se bem definida) e se
a fórmula acima tem divisão por zero (situação a ser tratada separadamente).
Verificação rápida (opcional): isolando
, temos
. Derivando explicitamente:
que coincide com o resultado acima (usei
para substituir).