obtenha \frac{\partial y}{\partial x} da função:
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}
e pede para obter \dfrac{\partial y}{\partial x}.
Informações relevantes:
  • \sqrt{x} e \sqrt{y} são radicais; portanto assumimos x\ge0 e y\ge0. Para dividir por raízes (ao isolar a derivada) precisamos de x>0 e y>0.
  • a é uma constante (logo \sqrt{a} é constante em relação a x).
  • Precisamos encontrar a derivada de y em relação a x sem resolver explicitamente para y (podemos usar diferenciação implícita).

Passo 2

Lembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivada de raiz):
  • A derivada da função \sqrt{u} em relação a x, onde u=u(x), é dada por
\frac{d}{dx}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx}.
Aqui \frac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x. Isso é a regra da cadeia: primeiro derivamos a forma externa \sqrt{\;\cdot\;}, que dá \tfrac{1}{2\sqrt{(\cdot)}}, e depois multiplicamos pela derivada do interior.
Aplicando isso a \sqrt{x} (onde u=x) e a \sqrt{y} (onde u=y(x)) teremos termos com \dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados da equação em relação a x, aplicando a fórmula do passo anterior:
  • Para \sqrt{x}: \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Para \sqrt{y}: \dfrac{d}{dx}\sqrt{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\partial y}{\partial x} (porque y depende de x).
  • Para \sqrt{a}: como a é constante, \dfrac{d}{dx}\sqrt{a}=0.
Portanto a diferenciação implícita dá:
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=0.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação para \dfrac{\partial y}{\partial x}.
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=0.
Isolando o termo com \dfrac{\partial y}{\partial x}:
\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{1}{\sqrt{x}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{y}:
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Podemos escrever a resposta de forma alternativa e um pouco mais compacta:
\frac{\partial y}{\partial x}=-\sqrt{\frac{y}{x}}.
Observação sobre domínio: essa expressão exige x>0 e y\ge0; se y=0 a derivada vale 0 (se bem definida) e se x=0 a fórmula acima tem divisão por zero (situação a ser tratada separadamente).
Verificação rápida (opcional): isolando \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x}, temos y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2. Derivando explicitamente:
\frac{dy}{dx}=2(\sqrt{a}-\sqrt{x})\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=-\frac{\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}},
que coincide com o resultado acima (usei \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x} para substituir).

Resposta

\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=-\sqrt{\frac{y}{x}}

Exercícios relacionados