Faça um gráfico de
e
para
.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda desenhar dois sinais no tempo:
• vₗ(t)=30·e^(–3t) mV, para t≥0
• iₗ(t), o que ainda não conhecemos numericamente, mas que vamos achar a partir de vₗ(t).
• vₗ(t)=30·e^(–3t) mV, para t≥0
• iₗ(t), o que ainda não conhecemos numericamente, mas que vamos achar a partir de vₗ(t).
Conteúdo: resposta natural de circuito RL (transiente em indutor). O que precisamos:
- saber que, na convenção passiva, vₗ(t)=L·diₗ/dt
- integrar essa equação pra achar iₗ(t)
- usar as condições de contorno (normalmente, no infinito a corrente volta a zero)
- traçar nos mesmos eixos as duas curvas exponenciais
Passo 2
Teoria básica: para um indutor de indutância L valendo qualquer valor fixo, vale
Isso diz que a tensão no indutor é proporcional à derivada da corrente. Se eu isolar a derivada:
Passo 3
Agora integramos em t para achar iₗ(t).
K é uma constante de integração que a gente define usando a condição pro t→∞: num circuito RL livre costuma-se ter iₗ(∞)=0 (indutor “descarregado”).
Então, para t→∞, e^(–3t)→0, sobra K=0.
Logo
Então, para t→∞, e^(–3t)→0, sobra K=0.
Logo
O sinal “–” indica que, segundo a convenção de sinais (passiva), a corrente decai de um valor inicial 10/L (em ampère) até zero no infinito.
Passo 4
Interpretação gráfica (considerando L>0):
• vₗ(t)=30 e^(–3t) mV: começa em 30 mV em t=0 e decai expo com constante de tempo τ=1/3 s até zero.
• iₗ(t)=–(10/L) e^(–3t): começa em –10/L (no instante t=0⁺) e decai expo (mesma τ=1/3 s) até 0.
• vₗ(t)=30 e^(–3t) mV: começa em 30 mV em t=0 e decai expo com constante de tempo τ=1/3 s até zero.
• iₗ(t)=–(10/L) e^(–3t): começa em –10/L (no instante t=0⁺) e decai expo (mesma τ=1/3 s) até 0.
Se você preferir ver tudo positivo, basta desenhar |iₗ(t)| que é (10/L)e^(–3t), idêntica à forma de vₗ(t) mas escalonada em amplitude.
Resposta
• Fórmulas finais:
• Gráfico: ambas são exponenciais decrescentes com τ=1/3 s; vₗ(0)=30 mV e iₗ(0)=–10/L.