Você arremessa uma bola de baixo para cima do topo de um edifício alto. A bola deixa sua mão com velocidade de
em um ponto que coincide com a extremidade superior do parapeito do edifício; a seguir ela passa a se mover em queda livre. Quando a bola volta ela passa raspando pelo parapeito e continua a queda. No local do edifício,
. Calcule a) A posição e a velocidade da bola
e
depois que ela deixa sua mão; b) A velocidade quando a bola está a
acima do parapeito e, c) A altura máxima atingida e o tempo que ela leva para atingir essa altura.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá. Temos uma bola lançada para cima a partir do topo do parapeito do edifício com velocidade inicial
(para cima). Tomamos a posição vertical do parapeito como origem, isto é
. A aceleração da gravidade no local é
(para baixo). As perguntas são:
a) Calcular a posição e a velocidade da bola em e em
b) A velocidade quando a bola está a acima do parapeito (ou seja, em
).
c) A altura máxima atingida (acima do parapeito) e o tempo que leva para atingi‑la.
a) Calcular a posição e a velocidade da bola em
b) A velocidade quando a bola está a
c) A altura máxima atingida (acima do parapeito) e o tempo que leva para atingi‑la.
Passo 2
Escolha de convenção e fórmulas úteis. Vou adotar o eixo vertical positivo para cima e origem em
no parapeito. Com aceleração constante
(pois a gravidade aponta para baixo), as fórmulas da cinemática retilínea uniformemente acelerada são:
Aqui:
-
é a velocidade instantânea no tempo , -
é a velocidade inicial ( ), -
é a posição (altura) no tempo , -
é a posição inicial (aqui ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é o tempo desde o lançamento, em segundos.
Também usaremos, quando conveniente, a relação que elimina o tempo:
obtida a partir das fórmulas acima (é útil para relacionar velocidade e posição diretamente).
Passo 3
Cálculo para
(parte a). Aplicando as fórmulas:
Isso significa que,
após o lançamento, a bola ainda sobe com velocidade de
(positivo = para cima).
Agora a posição:
Agora a posição:
Ou seja, a bola está a
acima do parapeito aos
.
Passo 4
Cálculo para
(parte a). Velocidade:
O sinal negativo indica que, aos
, a bola já está caindo e sua velocidade aponta para baixo com módulo
.
Posição:
Posição:
Portanto, aos
a bola está
abaixo do parapeito (isto é, passou raspando o parapeito ao descer e já desceu essa distância).
Passo 5
Velocidade quando
(parte b). Usamos a relação sem tempo:
Com
,
,
:
Logo
Explicação física: há duas passagens pela altura
— uma na subida (velocidade positiva
) e outra na descida (velocidade negativa
). Para confirmar, podemos achar os instantes em que
resolvendo
cuja solução é
Numericamente isso dá
(subida) e
(descida); as velocidades calculadas por
nesses tempos conferem os sinais acima.
Passo 6
Altura máxima e tempo para atingi‑la (parte c). No ponto mais alto a velocidade instantânea é zero:
. Da fórmula
temos
A altura máxima pode ser obtida usando
ou a fórmula direta
Portanto a bola sobe aproximadamente
acima do parapeito e leva cerca de
para atingir essa altura.
Resposta
a) Em
: posição
, velocidade
. Em
: posição
, velocidade
.
b) Ao passar por :
(
na subida em
,
na descida em
).
c) Altura máxima acima do parapeito; tempo para atingi‑la
.
b) Ao passar por
c) Altura máxima