Considere um trem composto por quatro blocos sobre um piso horizontal sem atrito. O bloco 1 de massa 10 kg é ligado ao bloco 2 de massa 3 kg pela corda 1 . O bloco 2 é ligado ao bloco 3 de massa 5 kg pela corda
2. O bloco 3 é ligado ao loco 4 de massa 2 kg pela corda 3. O bloco 4 é tracionado para a direita por uma força \vec{F}. As cordas não têm massa. Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força \vec{F}, (b) pela corda 3, e (c) pela corda 1? (d) Ordene os blocos de acordo com o módulo de suas acelerações, da maior para a menor. (e) Ordene as cordas de acordo com suas tensões, da maior para a menor.

Passo 1

O enunciado descreve quatro blocos alinhados sobre um piso horizontal sem atrito, ligados por cordas sem massa, e puxados para a direita pela força \vec{F} aplicada ao bloco 4. Dados fornecidos:
m_1 = 10\\ \mathrm{kg},\qquad m_2 = 3\\ \mathrm{kg},\qquad m_3 = 5\\ \mathrm{kg},\qquad m_4 = 2\\ \mathrm{kg}.
As cordas são: corda 1 entre os blocos 1 e 2, corda 2 entre 2 e 3, corda 3 entre 3 e 4. As cordas não têm massa e são inextensíveis. Não há atrito com o chão.
Perguntas do enunciado:
(a) Que massa total é acelerada para a direita pela força \vec{F}?
(b) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 3?
(c) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 1?
(d) Ordene os blocos pelo módulo de suas acelerações, da maior para a menor.
(e) Ordene as cordas pela magnitude de suas tensões, da maior para a menor.

Passo 2

Conceito e ferramenta principal que vamos usar: a segunda lei de Newton (a mais útil do mundo quando se trata de aceleração). Ela diz que a soma das forças externas que atuam num sistema é igual à massa do sistema multiplicada pela sua aceleração:
\sum F_{\text{externas}} = m_{\text{total}}\,a.
Aqui:
  • \sum F_{\text{externas}} é a soma das forças horizontais externas aplicadas ao sistema considerado (positivas para a direita);
  • m_{\text{total}} é a massa do sistema que estamos escolhendo para analisar;
  • a é a aceleração comum do sistema (direção para a direita).
Observações úteis para este problema:
  • Como não há atrito e as cordas são inextensíveis, todos os blocos ligados pelas cordas movem-se com a mesma aceleração a (mesma rapidez de deslocamento e mesma variação de velocidade).
  • Cordas sem massa significam que cada segmento da corda transmite uma tensão que pode ser diferente de segmento para segmento, mas ao longo de um mesmo segmento sem massa a tensão é a mesma. Aqui temos três cordas diferentes, então cada uma tem sua tensão possívelmente distinta.

Passo 3

Calcular a aceleração do sistema inteiro (passo que usamos para obter várias respostas). Tomemos o sistema formado por todos os quatro blocos juntos. As forças externas horizontais sobre esse sistema são apenas a força \vec{F} para a direita (o chão não oferece atrito).
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema completo:
F = (m_1+m_2+m_3+m_4)\,a.
Somando as massas:
m_1+m_2+m_3+m_4 = 10 + 3 + 5 + 2 = 20\\ \mathrm{kg}.
Logo a aceleração comum é
a = \frac{F}{20}.
Guarde essa expressão: ela vale para todos os blocos.

Passo 4

Resposta da parte (a): qual massa total é acelerada para a direita pela força \vec{F}?
Explicação: a força \vec{F} aplicada ao bloco 4 é a força externa que acelera todo o conjunto, porque as cordas transmitem a puxada para os outros blocos. Se considerarmos o sistema composto por todos os quatro blocos, a única força externa horizontal é \vec{F}; portanto \vec{F} acelera a massa total
m_1+m_2+m_3+m_4 = 20\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Parte (b): qual massa total é acelerada para a direita pela corda 3?
Explicação usando subsistema: considere o subsistema formado pelos blocos 1,2,3 (ou seja, todos os blocos à esquerda da corda 3). As forças externas horizontais sobre esse subsistema são apenas a tensão na corda 3, T_3, puxando para a direita (as outras tensões entre 1 e 2 e entre 2 e 3 são internas ao subsistema ou cancelam se incluídas). Aplicando a segunda lei:
T_3 = (m_1+m_2+m_3)\,a.
Portanto a corda 3 é responsável por acelerar para a direita a massa
m_1+m_2+m_3 = 10 + 3 + 5 = 18\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Parte (c): qual massa total é acelerada para a direita pela corda 1?
Explicação usando subsistema: considere apenas o bloco 1. A única força horizontal que acelera esse bloco é a tensão da corda 1, T_1, para a direita. Pela segunda lei aplicada ao bloco 1:
T_1 = m_1\,a.
Logo a corda 1 acelera para a direita a massa
m_1 = 10\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Parte (d): ordenar os blocos pelo módulo de suas acelerações, da maior para a menor.
Como as cordas são inextensíveis, todos os blocos ligados por elas têm exatamente a mesma aceleração translacional ao longo da direção da força. Portanto
a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = a = \frac{F}{20}.
Ordenação do maior para o menor: todos empatados — não há bloco com aceleração maior ou menor.

Passo 8

Parte (e): ordenar as cordas pela magnitude de suas tensões, da maior para a menor.
Já deduzimos formulas para as tensões usando subsistemas:
  • Para a corda 1, considerando o bloco 1: \;T_1 = m_1\,a = 10\,a.
  • Para a corda 2, considerando os blocos 1+2: \;T_2 = (m_1+m_2)\,a = (10+3)\,a = 13\,a.
  • Para a corda 3, considerando os blocos 1+2+3: \;T_3 = (m_1+m_2+m_3)\,a = 18\,a.
Substituindo a = \dfrac{F}{20} para ver as tensões em função de F:
T_1 = 10\cdot\frac{F}{20} = \frac{1}{2}F, \qquad T_2 = 13\cdot\frac{F}{20} = \frac{13}{20}F, \qquad T_3 = 18\cdot\frac{F}{20} = \frac{9}{10}F.
Portanto as tensões crescem quanto mais à esquerda (pois cada corda precisa arrastar mais massa). Assim, em ordem decrescente de magnitude:
T_3 > T_2 > T_1.

Resposta

(a) 20\\ \mathrm{kg}
(b) 18\\ \mathrm{kg}
(c) 10\\ \mathrm{kg}
(d) a_1 = a_2 = a_3 = a_4 (todos com a mesma aceleração)
(e) T_3 > T_2 > T_1

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