Considere um trem composto por quatro blocos sobre um piso horizontal sem atrito. O bloco 1 de massa 10 kg é ligado ao bloco 2 de massa 3 kg pela corda 1 . O bloco 2 é ligado ao bloco 3 de massa 5 kg pela corda
2. O bloco 3 é ligado ao loco 4 de massa 2 kg pela corda 3. O bloco 4 é tracionado para a direita por uma força
. As cordas não têm massa. Que massa total é acelerada para a direita (a) pela força
, (b) pela corda 3, e (c) pela corda 1? (d) Ordene os blocos de acordo com o módulo de suas acelerações, da maior para a menor. (e) Ordene as cordas de acordo com suas tensões, da maior para a menor.
2. O bloco 3 é ligado ao loco 4 de massa 2 kg pela corda 3. O bloco 4 é tracionado para a direita por uma força
Passo 1
O enunciado descreve quatro blocos alinhados sobre um piso horizontal sem atrito, ligados por cordas sem massa, e puxados para a direita pela força
aplicada ao bloco 4. Dados fornecidos:
As cordas são: corda 1 entre os blocos 1 e 2, corda 2 entre 2 e 3, corda 3 entre 3 e 4. As cordas não têm massa e são inextensíveis. Não há atrito com o chão.
Perguntas do enunciado:
(a) Que massa total é acelerada para a direita pela força ?
(b) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 3?
(c) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 1?
(d) Ordene os blocos pelo módulo de suas acelerações, da maior para a menor.
(e) Ordene as cordas pela magnitude de suas tensões, da maior para a menor.
(a) Que massa total é acelerada para a direita pela força
(b) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 3?
(c) Que massa total é acelerada para a direita pela corda 1?
(d) Ordene os blocos pelo módulo de suas acelerações, da maior para a menor.
(e) Ordene as cordas pela magnitude de suas tensões, da maior para a menor.
Passo 2
Conceito e ferramenta principal que vamos usar: a segunda lei de Newton (a mais útil do mundo quando se trata de aceleração). Ela diz que a soma das forças externas que atuam num sistema é igual à massa do sistema multiplicada pela sua aceleração:
Aqui:
-
é a soma das forças horizontais externas aplicadas ao sistema considerado (positivas para a direita); -
é a massa do sistema que estamos escolhendo para analisar; -
é a aceleração comum do sistema (direção para a direita).
Observações úteis para este problema:
- Como não há atrito e as cordas são inextensíveis, todos os blocos ligados pelas cordas movem-se com a mesma aceleração
(mesma rapidez de deslocamento e mesma variação de velocidade). - Cordas sem massa significam que cada segmento da corda transmite uma tensão que pode ser diferente de segmento para segmento, mas ao longo de um mesmo segmento sem massa a tensão é a mesma. Aqui temos três cordas diferentes, então cada uma tem sua tensão possívelmente distinta.
Passo 3
Calcular a aceleração do sistema inteiro (passo que usamos para obter várias respostas). Tomemos o sistema formado por todos os quatro blocos juntos. As forças externas horizontais sobre esse sistema são apenas a força
para a direita (o chão não oferece atrito).
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema completo:
Aplicando a segunda lei de Newton ao sistema completo:
Somando as massas:
Logo a aceleração comum é
Guarde essa expressão: ela vale para todos os blocos.
Passo 4
Resposta da parte (a): qual massa total é acelerada para a direita pela força
?
Explicação: a força
aplicada ao bloco 4 é a força externa que acelera todo o conjunto, porque as cordas transmitem a puxada para os outros blocos. Se considerarmos o sistema composto por todos os quatro blocos, a única força externa horizontal é
; portanto
acelera a massa total
Passo 5
Parte (b): qual massa total é acelerada para a direita pela corda 3?
Explicação usando subsistema: considere o subsistema formado pelos blocos
(ou seja, todos os blocos à esquerda da corda 3). As forças externas horizontais sobre esse subsistema são apenas a tensão na corda 3,
, puxando para a direita (as outras tensões entre
e
e entre
e
são internas ao subsistema ou cancelam se incluídas). Aplicando a segunda lei:
Portanto a corda 3 é responsável por acelerar para a direita a massa
Passo 6
Parte (c): qual massa total é acelerada para a direita pela corda 1?
Explicação usando subsistema: considere apenas o bloco
. A única força horizontal que acelera esse bloco é a tensão da corda 1,
, para a direita. Pela segunda lei aplicada ao bloco
:
Logo a corda 1 acelera para a direita a massa
Passo 7
Parte (d): ordenar os blocos pelo módulo de suas acelerações, da maior para a menor.
Como as cordas são inextensíveis, todos os blocos ligados por elas têm exatamente a mesma aceleração translacional ao longo da direção da força. Portanto
Ordenação do maior para o menor: todos empatados — não há bloco com aceleração maior ou menor.
Passo 8
Parte (e): ordenar as cordas pela magnitude de suas tensões, da maior para a menor.
Já deduzimos formulas para as tensões usando subsistemas:
- Para a corda 1, considerando o bloco
: - Para a corda 2, considerando os blocos
: - Para a corda 3, considerando os blocos
:
Substituindo
para ver as tensões em função de
:
Portanto as tensões crescem quanto mais à esquerda (pois cada corda precisa arrastar mais massa). Assim, em ordem decrescente de magnitude:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (todos com a mesma aceleração)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)