O que você compreende pela formação do gradiente de velocidade de escoamento? Como isso acontece?
33. Como correlacionam-se taxa de deformação e gradiente de velocidade de escoamento?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é e como surge o gradiente de velocidade em um escoamento, e em seguida relacionar esse gradiente com a taxa de deformação do fluido. O conteúdo principal é Mecânica dos Fluidos, em especial o estudo do campo de velocidades e do tensor de taxa de deformação.

Passo 2

O gradiente de velocidade aparece sempre que a velocidade do fluido varia de um ponto a outro. Em escoamentos reais, a condição de não-deslizamento (no-slip) na parede faz com que a velocidade do fluido junto à superfície seja zero, enquanto camadas mais afastadas se deslocam mais rapidamente. Esse desacoplamento de velocidades entre camadas gera um perfil u(y) que varia na direção hat y, criando assim o gradiente de velocidade.
Matematicamente, definimos o gradiente de velocidade como o tensor
nabla v
cujo componente genérico é
partial uipartial xj,,
onde ui é a componente i da velocidade e xj a coordenada j. Num escoamento unidimensional de cisalhamento plano, a única componente relevante é
partial upartial y,,
que mede a variação de velocidade na direção normal à superfície.

Passo 3

A taxa de deformação do fluido quantifica a forma como um elemento de fluido se alonga ou se deforma no escoamento. Formalmente, ela é dada pelo tensor simétrico de taxa de deformação
Dij = 12l(partial uipartial xj + partial ujpartial xir)
Esse tensor extrai do gradiente de velocidade a parte responsável pela distorção, desprezando a rotação pura do fluido.
A correlação entre gradiente de velocidade e taxa de deformação fica clara ao ver que Dij é simplesmente a parte simétrica de partial ui/partial xj. Num escoamento simples de cisalhamento (entre duas placas paralelas), a única componente não nula é
D12=D21=12,partial upartial y,
e define a chamada taxa de cisalhamento
dotgamma=partial u/partial y.

Resposta

O gradiente de velocidade surge da variação de u entre camadas onde o fluido “agarrado” na parede fica parado e camadas internas se movem, formando um perfil u(y). A taxa de deformação é a parte simétrica desse gradiente, formalizada por
Dij=tfrac12l(partial ui/partial xj+partial uj/partial xir),
e em escoamento planar simples reduz-se a dotgamma=partial u/partial y.

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