Você deve ter ouvido falar que
é um número irracional.
a. Demonstre esse fato supondo tal afirmação falsa, ou seja, admitindo que existem inteiros
e
, primos entre si, tais que
e portanto
. O que você pode dizer a respeito da paridades dos dois termos dessa igualdade?
a. Demonstre esse fato supondo tal afirmação falsa, ou seja, admitindo que existem inteiros
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que √2 não é racional usando o método de contradição. Assumimos que √2 = p/q com p e q inteiros não nulos, primos entre si, e chegamos à igualdade
Vamos usar propriedades de paridade (número par x ímpar) e o fato de que o quadrado de um número é par se, e somente se, ele próprio é par.
Passo 2
Observamos que o termo à direita,
, é claramente par (pois tem o fator 2). Logo, o termo à esquerda,
, também deve ser par. Como o quadrado de um número é par somente quando o número é par, concluímos que
é par.
Passo 3
Se
é par, existe
tal que
. Substituindo em
dividindo ambos os lados por 2, obtemos
Isso mostra que
também é par, e portanto
é par. Mas então
e
têm o fator 2 em comum, o que contradiz a hipótese de serem primos entre si.
Resposta
Os dois termos da igualdade são pares, o que implica que tanto
quanto
são pares, entrando em contradição com a suposição de que eram primos entre si.