Você deve ter ouvido falar que raiz2 é um número irracional.
a. Demonstre esse fato supondo tal afirmação falsa, ou seja, admitindo que existem inteiros p e q neq 0, primos entre si, tais que raiz2=pq e portanto 2 q^2=p^2. O que você pode dizer a respeito da paridades dos dois termos dessa igualdade?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que √2 não é racional usando o método de contradição. Assumimos que √2 = p/q com p e q inteiros não nulos, primos entre si, e chegamos à igualdade
2q^2 = p^2
Vamos usar propriedades de paridade (número par x ímpar) e o fato de que o quadrado de um número é par se, e somente se, ele próprio é par.

Passo 2

Observamos que o termo à direita, 2q^2, é claramente par (pois tem o fator 2). Logo, o termo à esquerda, p^2, também deve ser par. Como o quadrado de um número é par somente quando o número é par, concluímos que p é par.

Passo 3

Se p é par, existe kinZ tal que p = 2k. Substituindo em
2q^2 = p^2 = (2k)^2 = 4k^2
dividindo ambos os lados por 2, obtemos
q^2 = 2k^2
Isso mostra que q^2 também é par, e portanto q é par. Mas então p e q têm o fator 2 em comum, o que contradiz a hipótese de serem primos entre si.

Resposta

Os dois termos da igualdade são pares, o que implica que tanto p quanto q são pares, entrando em contradição com a suposição de que eram primos entre si.

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