Verifique que cada uma das funções abaixo satisfaz a equação de Laplace partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
u=e^3 x e^4 y cos (5 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função $ u = e^{3x} e^{4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
u = e^3x e^4y cos(5z)
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $. A função $ u $ tem um termo $ e^{3x} $, então:
u
Agora, derivamos novamente em relação a $ x $:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $. A função $ u $ tem um termo $ e^{4y} $, então:
u
Derivando novamente em relação a $ y $:
y

Passo 4

Por fim, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ z $. A função $ u $ tem um termo $ \cos(5z) $, então:
u
Derivando novamente em relação a $ z $:
z

Passo 5

Agora, vamos somar as três segundas derivadas que calculamos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 + partial^2 upartial z^2 = 9u + 16u - 25u = 0

Resposta

A função $ u = e^{3x} e^{4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace, pois a soma das suas segundas derivadas parciais é igual a zero.

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