Verifique que cada uma das funções abaixo satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função $ u = e^{3x} e^{4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace, que é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $. A função $ u $ tem um termo $ e^{3x} $, então:
Agora, derivamos novamente em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $. A função $ u $ tem um termo $ e^{4y} $, então:
Derivando novamente em relação a $ y $:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a segunda derivada de $ u $ em relação a $ z $. A função $ u $ tem um termo $ \cos(5z) $, então:
Derivando novamente em relação a $ z $:
Passo 5
Agora, vamos somar as três segundas derivadas que calculamos:
Resposta
A função $ u = e^{3x} e^{4y} \cos(5z) $ satisfaz a equação de Laplace, pois a soma das suas segundas derivadas parciais é igual a zero.