Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções abaixo:
z=6-4 x-4 y quando x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor máximo e mínimo da função $ z = 6 - 4x - 4y $ quando $ x^2 + y^2 = 1 $. Isso está relacionado ao estudo de otimização de funções com restrições, usando um pouco de geometria e álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como maximizar e minimizar funções lineares dentro de um círculo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa maximizar ou minimizar a função $ z = 6 - 4x - 4y $. Queremos encontrar os pontos $ (x, y) $ no círculo unitário $ x^2 + y^2 = 1 $ que tornam $ z $ o maior e o menor possível.

Passo 3

Uma maneira simples de resolver isso é pensar que $ z $ é uma combinação linear de $ x $ e $ y $. Então, para maximizar ou minimizar $ z $, precisamos achar os pontos no círculo onde a combinação $ -4x -4y $ é a maior ou a menor possível.

Passo 4

Vamos lembrar que pontos no círculo unitário podem ser representados por $ x = \cos(\theta) $ e $ y = \sin(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo. Assim, podemos reescrever $ z $ em termos de $ \theta $:
x = cos(theta)

Passo 5

Agora, para encontrar os valores máximos e mínimos de $ z $, vamos encontrar os valores máximos e mínimos da expressão $ -4\cos(\theta) - 4\sin(\theta) $. Isso pode ser feito usando uma identidade trigonométrica que combina cosseno e seno em uma única função.

Passo 6

Sabemos que $ a\cos(\theta) + b\sin(\theta) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \phi) $, onde $ \phi $ é o ângulo tal que $ \tan(\phi) = \frac{b}{a} $. Aplicando isso à nossa expressão:
acos(theta) + bsin(theta) = raiza^2 + b^2 cos(theta - phi)

Passo 7

Sabendo que o cosseno varia entre -1 e 1, a expressão $ -4\sqrt{2} \cos(\theta - 45^\circ) $ varia entre $ -4\sqrt{2} $ e $ 4\sqrt{2} $. Portanto, o valor de $ z $ varia entre:
-4raiz2 cos(theta - 45^circ) í
-4raiz2 á

Resposta

O valor mínimo de $ z $ é $ 6 - 4\sqrt{2} $ e o valor máximo de $ z $ é $ 6 + 4\sqrt{2} $.

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