Você dirige da cidade A à cidade B metade do tempo a 56,3 \mathrm{~km} / \\ h e a outra metade a 88,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Na volta percorre metade da distância a 56,3 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a outra metade a 88,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual a sua velocidade escalar média
de B até A , na volta

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a sua velocidade escalar média de B até A, na volta?”
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • Na volta você percorre metade da distância a 56,3\\ \mathrm{km/h}.
  • A outra metade da distância é percorrida a 88,5\\ \mathrm{km/h}.
  • Queremos a velocidade média escalar na volta (ou seja, velocidade média sobre toda a distância percorrida, sem considerar direção).

Passo 2

Definimos variáveis para organizar: seja D a distância total da viagem de B até A. Como cada trecho usa metade da distância, cada trecho tem distância \tfrac{D}{2}. Chamemos os dois valores de velocidade de
v_1 = 56,3\\ \mathrm{km/h}\quad\text{e}\quad v_2 = 88,5\\ \mathrm{km/h}.
O tempo gasto em cada trecho é dado pela relação “tempo = distância dividido pela velocidade”. Assim,
t_1 = \frac{D/2}{v_1}\quad\text{e}\quad t_2 = \frac{D/2}{v_2}.
O tempo total é
T = t_1 + t_2 = \frac{D}{2}\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right).
A velocidade média escalar sobre a volta é definida como “distância total dividida pelo tempo total”, isto é
v_{\text{média}} = \frac{D}{T}.é

Passo 3

Agora vamos simplificar a expressão de v_{\text{média}}é. Substituindo T na fórmula:
v_{\text{média}}=\frac{D}{\dfrac{D}{2}\left(\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}\right)}.é
Cancelando D e reorganizando obtemos a forma conhecida (média harmónica para duas velocidades quando os trechos têm a mesma distância):
v_{\text{média}}=\frac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}=\frac{2v_1 v_2}{v_1+v_2}.é
Explicação didática curta: como os trechos têm a mesma distância, a velocidade média não é a média aritmética \tfrac{v_1+v_2}{2} — em vez disso é a média harmónica porque o tempo gasto em cada trecho depende de 1/v. Um exemplo simples para fixar a ideia: se v_1=60 e v_2=120, a média harmónica dá
v_{\text{média}}=\frac{2\cdot 60\cdot 120}{60+120}=\frac{14400}{180}=80\\ \mathrm{km/h},é
o que é menor que a média aritmética \tfrac{60+120}{2}=90\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com v_1=56,3 e v_2=88,5:
v_1 v_2 = 56,3\cdot 88,5 = 4982,55,
v_1+v_2 = 56,3+88,5 = 144,8,
2v_1 v_2 = 2\cdot 4982,55 = 9965,10.
Logo
v_{\text{média}} = \frac{2v_1 v_2}{v_1+v_2} = \frac{9965,10}{144,8}.é

Passo 5

Fazendo a divisão (pode-se fazer por divisão longa ou aproximação controlada) obtemos
v_{\text{média}}\approx 68,8197\\ \mathrm{km/h},é
arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
v_{\text{média}}\approx 68,82\\ \mathrm{km/h}.é
Pequeno incentivo: é normal parecer confuso no começo — lembra que a ideia-chave é sempre “distância total sobre tempo total” e, quando as distâncias são iguais, isso vira a média harmónica das velocidades.

Resposta

\,68,82\\ \mathrm{km/h}

Exercícios relacionados