Um viscosímetro consiste em dois cilindros concêntricos, de
e
de diâmetro. Um líquido preenche o espaço entre eles até uma profundidade de
. O cilindro externo é fixo e um torque de
mantém o cilindro interno girando a uma velocidade rotacional constante de
. Qual a viscosidade do líquido? Faça um escopo de um desenho simples de tal viscosímetro visto de cima e da lateral. Isso facilitará a visualização do problema.
Passo 1
O problema pede para calcular a viscosidade do líquido presente entre dois cilindros concêntricos, sabendo que o cilindro interno gira com velocidade constante e o cilindro externo está fixo. Informação dada (peguei os valores do enunciado):
- diâmetro do cilindro interno:
- diâmetro do cilindro externo:
- profundidade (altura) do líquido:
- torque aplicado ao eixo do cilindro interno:
- velocidade de rotação do cilindro interno:
Pedidos:
- Calcular a viscosidade dinâmica
do líquido. - Fazer um esboço simples (visto de cima e de lado) para facilitar a visualização.
Esboço simples (visto de cima e de lado). Nas legendas eu uso os mesmos valores numéricos fornecidos pelo enunciado:
Visto de cima (planta):
O cilindro interno é o círculo menor, o externo é o círculo maior.
O cilindro interno é o círculo menor, o externo é o círculo maior.
(círculos concêntricos)
_________
/ \
/ (R2) \ ← raio externo
| O O |
\ (R1) / ← raio interno
_________/
| O O |
\ (R1) / ← raio interno
_________/
Visto lateral (seção longitudinal):
eixo ↑
───────────── ← parte externa, cilindro fixo
| |
| líquido | altura
| entre |
| cilindros |
| |
───────────── ← parte interna, cilindro que gira
eixo ↑
───────────── ← parte externa, cilindro fixo
| |
| líquido | altura
| entre |
| cilindros |
| |
───────────── ← parte interna, cilindro que gira
Esses desenhos são só para visualização: temos um anel de líquido entre os dois cilindros, com altura
, o cilindro interno gira com velocidade angular
e o externo está parado.
Passo 2
Conversão de unidades e parâmetros úteis (passo importante para não errar nos cálculos): transformar diâmetros e profundidade para metros e a rotação para rad/s.
- raio interno:
- raio externo:
- profundidade (altura do líquido):
- torque aplicado:
- velocidade angular (converter de
para ):
Sempre deixe bem claros os sinais e unidades — aqui todos os comprimentos já estão em metros e a velocidade angular em
.
Passo 3
Modelo físico e equações principais (explicando passo a passo o que usamos).
-
Situação física: fluxo estacionário e azimutal entre cilindros infinitos (ou cilindros de comprimento
muito maior que o gap). A velocidade do fluido tem só componente tangencial (dependendo apenas de , a distância ao eixo), porque o escoamento é de cisalhamento coaxial. -
Solução geral para o campo de velocidades (resultado padrão para escoamento viscoso entre cilindros coaxiais, derivável da equação balanceada de forças): a forma geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de contorno. Explicação curta: a equação diferencial para a componente azimutal em regime estacionário reduz a essa combinação linear de
e
.
- Condições de contorno:
- Taxa de deformação (cisalhamento) relevante e tensão de cisalhamento: em coordenadas cilíndricas a componente de taxa de deformação relevante é
Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é
onde
é a viscosidade dinâmica (o que queremos).
- Momento (torque) transmitido por unidade de comprimento: a força de cisalhamento sobre uma faixa de cilindro de raio
age ao longo da circunferência e gera um torque por unidade de comprimento igual a . Para o regime estacionário esse torque é o mesmo em qualquer raio , portanto podemos calcular em .
Resumindo: precisamos relacionar
com
através do campo de velocidade (constantes
) e da expressão da tensão.
Passo 4
Determinar as constantes
e
e relacionar o torque com
.
- Substitua
na expressão de :
Multiplicando por
:
Então a tensão:
- Torque total
(sobre toda a altura ) pode ser obtido usando . O torque por unidade de comprimento é . Substituindo:
Portanto o torque total é
O sinal negativo só indica direção; no módulo importa que
- Agora encontremos
usando as condições de contorno. Das duas condições:
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Colocando em evidência
:
Colocando no mesmo denominador:
Assim
- Substituindo
na expressão do torque:
- Isolando
:
Essa é a fórmula que vamos usar. Aqui cada símbolo significa:
= torque total (N·m),
= raios (m),
= altura/ profundidade do líquido (m),
= velocidade angular (rad/s),
= viscosidade (Pa·s).
Passo 5
Substituir os números e calcular cuidadosamente, mantendo passos aritméticos.
Já temos:
Calcule os termos intermediários:
-
. -
. - Diferença:
- Produto:
Agora calcular o denominador:
Primeiro calcule
. Usando
,
Numericamente,
Multiplicando por
:
Numerador:
Finalmente:
Arredondando para três algarismos significativos (condizente com os dados fornecidos):
Em unidades mais comuns para fluidos, isso equivale a
Comentário rápido para motivar: isso é bem mais viscoso que água (
a
), então seria um fluido significativamente viscoso (ex.: alguns óleos leves).