Um viscosímetro consiste em dois cilindros concêntricos, de 10,20 \mathrm{~cm} e 10,60 \mathrm{~cm} de diâmetro. Um líquido preenche o espaço entre eles até uma profundidade de 12,0 \mathrm{~cm}. O cilindro externo é fixo e um torque de 0,024 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~N} mantém o cilindro interno girando a uma velocidade rotacional constante de 57 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. Qual a viscosidade do líquido? Faça um escopo de um desenho simples de tal viscosímetro visto de cima e da lateral. Isso facilitará a visualização do problema.

Passo 1

O problema pede para calcular a viscosidade do líquido presente entre dois cilindros concêntricos, sabendo que o cilindro interno gira com velocidade constante e o cilindro externo está fixo. Informação dada (peguei os valores do enunciado):
  • diâmetro do cilindro interno: 10,20\\ \mathrm{cm}
  • diâmetro do cilindro externo: 10,60\\ \mathrm{cm}
  • profundidade (altura) do líquido: 12,0\\ \mathrm{cm}
  • torque aplicado ao eixo do cilindro interno: 0,024\\ \mathrm{N\cdot m}
  • velocidade de rotação do cilindro interno: 57\\ \mathrm{rev/min}
Pedidos:
  • Calcular a viscosidade dinâmica \eta do líquido.
  • Fazer um esboço simples (visto de cima e de lado) para facilitar a visualização.
Esboço simples (visto de cima e de lado). Nas legendas eu uso os mesmos valores numéricos fornecidos pelo enunciado:
Visto de cima (planta):
O cilindro interno é o círculo menor, o externo é o círculo maior.
(círculos concêntricos)
 _________
/         \
/ (R2) \ ← raio externo R_2 = \dfrac{10,60\\ \mathrm{cm}}{2}
| O O |
\ (R1) / ← raio interno R_1 = \dfrac{10,20\\ \mathrm{cm}}{2}
_________/
Visto lateral (seção longitudinal):
eixo ↑
───────────── ← parte externa, cilindro fixo
| |
| líquido | altura L = 12,0\\ \mathrm{cm}
| entre |
| cilindros |
| |
───────────── ← parte interna, cilindro que gira
Esses desenhos são só para visualização: temos um anel de líquido entre os dois cilindros, com altura L, o cilindro interno gira com velocidade angular \Omega e o externo está parado.

Passo 2

Conversão de unidades e parâmetros úteis (passo importante para não errar nos cálculos): transformar diâmetros e profundidade para metros e a rotação para rad/s.
  • raio interno:
R_1 = \dfrac{10,20\\ \mathrm{cm}}{2} = 5,10\\ \mathrm{cm} = 0,0510\\ \mathrm{m}
  • raio externo:
R_2 = \dfrac{10,60\\ \mathrm{cm}}{2} = 5,30\\ \mathrm{cm} = 0,0530\\ \mathrm{m}
  • profundidade (altura do líquido):
L = 12,0\\ \mathrm{cm} = 0,120\\ \mathrm{m}
  • torque aplicado:
T = 0,024\\ \mathrm{N\cdot m}
  • velocidade angular (converter de \mathrm{rev/min} para \mathrm{rad/s}):
\Omega = 57\\ \mathrm{rev/min}\times \dfrac{2\pi\\ \mathrm{rad}}{1\\ \mathrm{rev}}\times \dfrac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}} = \dfrac{57\cdot 2\pi}{60}\\ \mathrm{rad/s} = 1{,}9\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 5{,}9690\\ \mathrm{rad/s}
Sempre deixe bem claros os sinais e unidades — aqui todos os comprimentos já estão em metros e a velocidade angular em \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Modelo físico e equações principais (explicando passo a passo o que usamos).
  • Situação física: fluxo estacionário e azimutal entre cilindros infinitos (ou cilindros de comprimento L muito maior que o gap). A velocidade do fluido tem só componente tangencial v_\theta(r) (dependendo apenas de r, a distância ao eixo), porque o escoamento é de cisalhamento coaxial.
  • Solução geral para o campo de velocidades (resultado padrão para escoamento viscoso entre cilindros coaxiais, derivável da equação balanceada de forças): a forma geral é
v_\theta(r)=A\,r+\dfrac{B}{r},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições de contorno. Explicação curta: a equação diferencial para a componente azimutal em regime estacionário reduz a essa combinação linear de r e 1/r.
  • Condições de contorno:
v_\theta(R_1)=\Omega R_1 \quad\text{(velocidade do fluido aderente ao cilindro interno)}
v_\theta(R_2)=0 \quad\text{(cilindro externo está fixo)}á
  • Taxa de deformação (cisalhamento) relevante e tensão de cisalhamento: em coordenadas cilíndricas a componente de taxa de deformação relevante é
\dot{\gamma}_{r\theta}=r\,\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right).
Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento é
\tau_{r\theta}=\eta\,\dot{\gamma}_{r\theta}=\eta\,r\,\dfrac{d}{dr}\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right),
onde \eta é a viscosidade dinâmica (o que queremos).
  • Momento (torque) transmitido por unidade de comprimento: a força de cisalhamento sobre uma faixa de cilindro de raio r age ao longo da circunferência 2\pi r e gera um torque por unidade de comprimento igual a \tau_{r\theta}\times (2\pi r)\times r = 2\pi r^2\tau_{r\theta}. Para o regime estacionário esse torque é o mesmo em qualquer raio r, portanto podemos calcular em r=R_1.
Resumindo: precisamos relacionar T com \eta através do campo de velocidade (constantes A,B) e da expressão da tensão.

Passo 4

Determinar as constantes A e B e relacionar o torque com \eta.
  • Substitua v_\theta(r)=A r + B/r na expressão de \dot{\gamma}_{r\theta}:
\dfrac{v_\theta}{r}=A+\dfrac{B}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{d}{dr}\!\left(\dfrac{v_\theta}{r}\right)=-2B r^{-3}.
Multiplicando por r:
\dot{\gamma}_{r\theta}=r\left(-2B r^{-3}\right)=-\dfrac{2B}{r^{2}}.
Então a tensão:
\tau_{r\theta}=\eta\left(-\dfrac{2B}{r^{2}}\right)=-\dfrac{2\eta B}{r^{2}}.
  • Torque total T (sobre toda a altura L) pode ser obtido usando T = (\text{torque por unidade de comprimento})\times L. O torque por unidade de comprimento é 2\pi r^{2}\tau_{r\theta}. Substituindo:
\text{torque por unidade de comprimento} = 2\pi r^{2}\left(-\dfrac{2\eta B}{r^{2}}\right) = -4\pi\eta B.
Portanto o torque total é
T = (-4\pi\eta B)\,L.
O sinal negativo só indica direção; no módulo importa que
T = 4\pi\eta B\,L.
  • Agora encontremos B usando as condições de contorno. Das duas condições:
A R_1 + \dfrac{B}{R_1} = \Omega R_1,
A R_2 + \dfrac{B}{R_2} = 0.
Da segunda equação A = -\dfrac{B}{R_2^{2}}. Substituindo na primeira:
-\dfrac{B}{R_2^{2}}R_1 + \dfrac{B}{R_1} = \Omega R_1.
Colocando em evidência B:
B\left(\dfrac{1}{R_1}-\dfrac{R_1}{R_2^{2}}\right)=\Omega R_1.
Colocando no mesmo denominador:
B\cdot \dfrac{R_2^{2}-R_1^{2}}{R_1 R_2^{2}}=\Omega R_1.
Assim
B=\Omega R_1^{2}\dfrac{R_2^{2}}{R_2^{2}-R_1^{2}}=\dfrac{\Omega R_1^{2}R_2^{2}}{R_2^{2}-R_1^{2}}.
  • Substituindo B na expressão do torque:
T = 4\pi\eta L \cdot \dfrac{\Omega R_1^{2}R_2^{2}}{R_2^{2}-R_1^{2}}.
  • Isolando \eta:
\eta = \dfrac{T\left(R_2^{2}-R_1^{2}\right)}{4\pi L \Omega R_1^{2}R_2^{2}}.
Essa é a fórmula que vamos usar. Aqui cada símbolo significa:
T = torque total (N·m), R_1,R_2 = raios (m), L = altura/ profundidade do líquido (m), \Omega = velocidade angular (rad/s), \eta = viscosidade (Pa·s).

Passo 5

Substituir os números e calcular cuidadosamente, mantendo passos aritméticos.
Já temos:
R_1=0,0510\\ \mathrm{m},\quad R_2=0,0530\\ \mathrm{m},\quad L=0,120\\ \mathrm{m},
T=0,024\\ \mathrm{N\cdot m},\quad \Omega=1{,}9\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 5{,}9690\\ \mathrm{rad/s}.
Calcule os termos intermediários:
  • R_1^{2}=(0,0510)^{2}=0,002601\\ \mathrm{m^{2}}.
  • R_2^{2}=(0,0530)^{2}=0,002809\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Diferença:
R_2^{2}-R_1^{2}=0,002809-0,002601=0,000208\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Produto:
R_1^{2}R_2^{2}=0,002601\times 0,002809=0,000007306209\\ \mathrm{m^{4}}.
Agora calcular o denominador:
4\pi L \Omega R_1^{2}R_2^{2}.
Primeiro calcule 4\pi L \Omega. Usando \Omega=1{,}9\pi,
4\pi L \Omega = 4\pi \cdot L \cdot 1{,}9\pi = 7{,}6\pi^{2}L.
Numericamente,
4\pi L \Omega \approx 9{,}0010792137\quad(\text{sem unidade, pois depois vem }R^{4}).
Multiplicando por R_1^{2}R_2^{2}:
4\pi L \Omega R_1^{2}R_2^{2}\approx 9{,}0010792137\times 0{,}000007306209 \approx 0{,}000065759558.
Numerador:
T\left(R_2^{2}-R_1^{2}\right)=0{,}024\times 0{,}000208 = 0{,}000004992.
Finalmente:
\eta = \dfrac{0{,}000004992}{0{,}000065759558}\approx 0{,}075894\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando para três algarismos significativos (condizente com os dados fornecidos):
\eta \approx 0{,}0759\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Em unidades mais comuns para fluidos, isso equivale a
\eta \approx 75{,}9\\ \mathrm{mPa\cdot s}.
Comentário rápido para motivar: isso é bem mais viscoso que água ( \sim 1\\ \mathrm{mPa\cdot s} a 20^\circ\mathrm{C}), então seria um fluido significativamente viscoso (ex.: alguns óleos leves).

Resposta

\eta = 0{,}0759\\ \mathrm{Pa\cdot s}
\eta = 75{,}9\\ \mathrm{mPa\cdot s}

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