Seja um cilindro longo condutor oco de raio interno r_{1} e raio externo r_{2}. Uma seção reta do cilindro se encontra no plano x-z com o centro localizado no ponto ( 0,0,0 ). O cilindro conduz uma corrente no sentido +\hat{j}, e o módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J=C r, sendo C uma constante arbitrária, que garante a unidade certa para J e r em metros. Qual é o vetor campo magnético na posição ( 0,0, \mathrm{r} ), sendo r_{1}<r<r_{2} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Um cilindro longo condutor oco com raio interno r_{1} e raio externo r_{2}.
  • A seção reta do cilindro está no plano x\!-\!z com centro em (0,0,0). O eixo do cilindro é paralelo ao eixo y.
  • A corrente total percorre o cilindro no sentido +\hat{\jmath} (ou seja, no sentido positivo do eixo y).
  • A densidade de corrente (magnitude) na seção reta depende da distância radial ao eixo e é dada por J(\rho)=C\,\rho, onde C é uma constante e \rho é a coordenada radial no plano x\!-\!z.
  • Queremos o vetor campo magnético na posição (0,0,r), com r_{1}<r<r_{2} (ou seja, um ponto dentro da espessura do condutor, a uma distância radial r do eixo).
Informações relevantes extra:
  • O ponto (0,0,r) tem coordenadas cartesianas x=0,\;z=r e, em coordenadas polares no plano x\!-\!z em torno do eixo y, corresponde a \rho=r e ângulo \varphi=\pi/2.

Passo 2

Por simetria (vou explicar devagar porque é importante): o cilindro é longo e a distribuição de corrente só depende da distância radial \rho, então o campo magnético ao redor do eixo será tangencial às circunferências centradas no eixo (isto é, ortogonal ao raio no plano x\!-\!z). Em linguagem geométrica: o campo tem direção azimutal \hat{\varphi} e módulo que depende só de \rho. Isso permite usar a Lei de Ampère para encontrar o módulo do campo.
A Lei de Ampère (no vácuo, magnetostática) diz:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mathcal{C} é um caminho fechado e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}. Aqui escolhemos \mathcal{C} como a circunferência de raio \rho=r no plano x\!-\!z.

Passo 3

Aplicando a simetria ao contorno elegido: ao longo da circunferência de raio r o campo é tangencial e tem módulo constante B_{\varphi}(r). O elemento de comprimento vale d\ell=r\,d\varphi e o produto escalar \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B_{\varphi}(r)\,r\,d\varphi. Assim o membro esquerdo da Lei de Ampère fica:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B_{\varphi}(r)\int_{0}^{2\pi} r\,d\varphi = B_{\varphi}(r)\,2\pi r.

Passo 4

Agora precisamos de I_{\text{enc}}: é a corrente total que atravessa a seção circular de raio r, ou seja, a corrente contida entre \rho=r_{1} e \rho=r (porque o condutor é oco até r_{1}). A densidade de corrente vetorial é \mathbf{J}=J(\rho)\,\hat{\jmath}=C\,\rho\,\hat{\jmath}. Para obter a corrente total integramos J sobre a área da região \rho\in[r_{1},r], \varphi\in[0,2\pi]. Em coordenadas polares a área elementar é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi. Então:
I_{\text{enc}}=\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=r_{1}}^{r} J(\rho)\, \rho\,d\rho\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{r_{1}}^{r} C\,\rho \cdot \rho\,d\rho\,d\varphi = C\int_{0}^{2\pi} d\varphi \int_{r_{1}}^{r} \rho^{2}\,d\rho.

Passo 5

Faço as integrais passo a passo (sem pular etapas para você conseguir replicar na prova):
  • Integral em \varphi: \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
  • Integral em \rho: \int_{r_{1}}^{r} \rho^{2}\,d\rho = \left[\dfrac{\rho^{3}}{3}\right]_{r_{1}}^{r} = \dfrac{r^{3}-r_{1}^{3}}{3}.
Multiplicando:
I_{\text{enc}} = C\cdot(2\pi)\cdot \dfrac{r^{3}-r_{1}^{3}}{3} = \dfrac{2\pi C}{3}\,(r^{3}-r_{1}^{3}).

Passo 6

Agora volto à Lei de Ampère:
B_{\varphi}(r)\,2\pi r = \mu_{0} I_{\text{enc}} = \mu_{0}\,\dfrac{2\pi C}{3}\,(r^{3}-r_{1}^{3}).
Cancelei 2\pi dos dois lados e isolei B_{\varphi}(r):
B_{\varphi}(r)=\dfrac{\mu_{0} C}{3}\,\dfrac{r^{3}-r_{1}^{3}}{r} =\dfrac{\mu_{0} C}{3}\left(r^{2}-\dfrac{r_{1}^{3}}{r}\right).
Isso é o módulo da componente azimutal do campo magnético para r_{1}<r<r_{2}.

Passo 7

Agora precisamos do vetor \mathbf{B} na posição específica (0,0,r). Em coordenadas polares no plano x\!-\!z definimos normalmente
x=\rho\cos\varphi,\qquad z=\rho\sin\varphi,
com os versores
\hat{\rho}=\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{k},\qquad \hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{k}.
No ponto (0,0,r) temos \rho=r e \varphi=\pi/2. Substituindo \varphi=\pi/2 obtemos
\hat{\varphi}\big|_{\varphi=\pi/2} = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\hat{\imath}+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\hat{k} = -1\cdot\hat{\imath}+0\cdot\hat{k} = -\hat{\imath}.

Passo 8

Portanto o campo vetorial naquele ponto é a magnitude B_{\varphi}(r) multiplicada pelo versor \hat{\varphi} avaliado ali:
\mathbf{B}(0,0,r)=B_{\varphi}(r)\,\hat{\varphi}\big|_{\varphi=\pi/2} = -\dfrac{\mu_{0} C}{3}\left(r^{2}-\dfrac{r_{1}^{3}}{r}\right)\hat{\imath}.
Faz sentido físico: para corrente ao longo de +\hat{\jmath}, no lado positivo do eixo z o campo aponta para o lado negativo de x (regra da mão direita).

Resposta

\mathbf{B}(0,0,r)=-\dfrac{\mu_{0} C}{3}\left(r^{2}-\dfrac{r_{1}^{3}}{r}\right)\hat{\imath}

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