Seja um cilindro longo condutor oco de raio interno r_{1} e raio externo r_{2}. Uma seção reta do cilindro se encontra no plano x-z com o centro localizado no ponto ( 0,0,0 ). O cilindro conduz uma corrente no sentido +\hat{j}, e o módulo da densidade de corrente na seção reta é dado por J=C r, sendo C uma constante arbitrária, que garante a unidade certa para J e r em metros. Qual é o vetor campo magnético na posição ( 0,0, \mathrm{r} ), sendo r_{1}<r<r_{2} ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Um cilindro longo condutor oco com raio interno r_{1} e raio externo r_{2}.
A seção reta do cilindro está no plano x\!-\!z com centro em (0,0,0). O eixo do cilindro é paralelo ao eixo y.
A corrente total percorre o cilindro no sentido +\hat{\jmath} (ou seja, no sentido positivo do eixo y).
A densidade de corrente (magnitude) na seção reta depende da distância radial ao eixo e é dada por J(\rho)=C\,\rho, onde C é uma constante e \rho é a coordenada radial no plano x\!-\!z.
Queremos o vetor campo magnético na posição (0,0,r), com r_{1}<r<r_{2} (ou seja, um ponto dentro da espessura do condutor, a uma distância radial r do eixo).
Informações relevantes extra:
O ponto (0,0,r) tem coordenadas cartesianas x=0,\;z=r e, em coordenadas polares no plano x\!-\!z em torno do eixo y, corresponde a \rho=r e ângulo \varphi=\pi/2.
Passo 2
Por simetria (vou explicar devagar porque é importante): o cilindro é longo e a distribuição de corrente só depende da distância radial \rho, então o campo magnético ao redor do eixo será tangencial às circunferências centradas no eixo (isto é, ortogonal ao raio no plano x\!-\!z). Em linguagem geométrica: o campo tem direção azimutal \hat{\varphi} e módulo que depende só de \rho. Isso permite usar a Lei de Ampère para encontrar o módulo do campo.
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, \mathcal{C} é um caminho fechado e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}. Aqui escolhemos \mathcal{C} como a circunferência de raio \rho=r no plano x\!-\!z.
Passo 3
Aplicando a simetria ao contorno elegido: ao longo da circunferência de raio r o campo é tangencial e tem módulo constante B_{\varphi}(r). O elemento de comprimento vale d\ell=r\,d\varphi e o produto escalar \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B_{\varphi}(r)\,r\,d\varphi. Assim o membro esquerdo da Lei de Ampère fica:
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=B_{\varphi}(r)\int_{0}^{2\pi} r\,d\varphi = B_{\varphi}(r)\,2\pi r.
Passo 4
Agora precisamos de I_{\text{enc}}: é a corrente total que atravessa a seção circular de raio r, ou seja, a corrente contida entre \rho=r_{1} e \rho=r (porque o condutor é oco até r_{1}). A densidade de corrente vetorial é \mathbf{J}=J(\rho)\,\hat{\jmath}=C\,\rho\,\hat{\jmath}. Para obter a corrente total integramos J sobre a área da região \rho\in[r_{1},r], \varphi\in[0,2\pi]. Em coordenadas polares a área elementar é dA=\rho\,d\rho\,d\varphi. Então:
Faz sentido físico: para corrente ao longo de +\hat{\jmath}, no lado positivo do eixo z o campo aponta para o lado negativo de x (regra da mão direita).