1. Você está discutindo no telefone celular enquanto segue um carro de polícia não identificado, a 25 m de distância; os dois veículos estão a 110 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A discussão distrai a sua
    atenção do carro de polícia por 2,0 \mathrm{~s}. No início desses 2,0 \mathrm{~s}, o policial freia bruscamente, com uma desaceleração de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito? Suponha que você leve outros 0,40 \mathrm{~s} para perceber o perigo e começar a frear. (b) Se você também freia com uma desaceleração de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, qual é a velocidade do seu carro quando você bate no carro de polícia?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Separação inicial entre os carros: \;25\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial de ambos os carros: \;110\\ \mathrm{km/h}.
  • Desaceleração do carro de polícia ao frear: \;5{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} (constante, sentido de reduzir a velocidade).
  • Você fica distraído por \;2{,}0\\ \mathrm{s} a partir do instante em que o policial começa a frear.
  • Depois desses \;2{,}0\\ \mathrm{s} você volta a prestar atenção; além disso, você leva mais \;0{,}40\\ \mathrm{s} (tempo de reação) até começar a frear.
O enunciado pede:
(a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito? (vou interpretar como o instante em que você volta a prestar atenção, isto é, após os \;2{,}0\\ \mathrm{s}. O tempo de reação de \;0{,}40\\ \mathrm{s} será usado depois para o que vem a seguir.)
(b) Se você também freia com desaceleração de \;5{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} (após o tempo de reação), qual é a velocidade do seu carro quando você bate no carro de polícia?
Observação: para resolver precisaremos das equações do movimento retilíneo com aceleração constante e raciocinar sobre o movimento relativo entre os carros.

Passo 2

Converter a velocidade dada para unidades SI (m/s) e definir os sinais e a referência.
  • Converter \;110\\ \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}:
110\\ \mathrm{km/h}=110\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=110\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}=30{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Vou usar \;v_0=30{,}56\\ \mathrm{m/s} (aproximação com quatro dígitos significativos).
  • Escolha de referência: tomar a posição inicial do carro de polícia como \;x_p(0)=0. Então a sua posição inicial é \;x_y(0)=-25\\ \mathrm{m} (25 m atrás). Direção do movimento é positiva.
  • Aceleração do policial é \;a_p=-5{,}0\\ \mathrm{m/s^2} (negativa porque reduz a velocidade). Enquanto você está distraído e durante o tempo de reação, sua aceleração é \;a_y=0 (mantém velocidade constante). Depois do tempo de reação, ao frear, sua aceleração passa a ser \;a_y=-5{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
As fórmulas que vamos usar (movimento retilíneo uniformemente acelerado):
  • Posição: \;x(t)=x(0)+v(0)\,t+\dfrac{1}{2}a\,t^{2}.
  • Velocidade: \;v(t)=v(0)+a\,t.
Vou aplicar essas fórmulas nos instantes relevantes: t=2{,}0\\ \mathrm{s} (você volta a prestar atenção) e t=2{,}4\\ \mathrm{s} (você começa a frear, após mais 0{,}40\\ \mathrm{s} de reação).

Passo 3

Calcular posições dos dois carros no instante t=2{,}0\\ \mathrm{s} — instante em que você volta a prestar atenção (parte (a)).
Policial (início em x_p(0)=0, velocidade inicial \;v_0, aceleração \;a_p=-5{,}0\\ \mathrm{m/s^2}):
x_p(2{,}0)=0+v_0\cdot 2{,}0+\frac{1}{2}a_p\cdot(2{,}0)^2.
Substituindo números:
x_p(2{,}0)=30{,}555\ldots\cdot 2{,}0 + \frac{1}{2}(-5{,}0)\cdot 4 =61{,}111\ldots -10 =51{,}111\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;x_p(2{,}0)=51{,}11\\ \mathrm{m}.
Você (início em x_y(0)=-25\\ \mathrm{m}, velocidade constante \;v_0 até o fim do tempo de distração):
x_y(2{,}0)=-25+v_0\cdot 2{,}0 = -25+61{,}111\ldots =36{,}111\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;x_y(2{,}0)=36{,}11\\ \mathrm{m}.
Separação entre os carros nesse instante:
\Delta x(2{,}0)=x_p(2{,}0)-x_y(2{,}0)=51{,}111\ldots-36{,}111\ldots=15{,}0\\ \mathrm{m}.
Conclusão do passo: quando você volta a prestar atenção (após \;2{,}0\\ \mathrm{s}), a distância entre os carros é \;15{,}0\\ \mathrm{m}. (Este é o resultado da parte (a).)

Passo 4

Calcular a distância entre os carros no instante em que você começa a frear, isto é, após os \;0{,}40\\ \mathrm{s} de reação adicionais — instante t=2{,}4\\ \mathrm{s}. Esse valor será usado para a parte (b).
Policial em t=2{,}4\\ \mathrm{s}:
Velocidade do policial nesse instante:
v_p(2{,}4)=v_0 + a_p\cdot 2{,}4 = 30{,}555\ldots + (-5{,}0)\cdot 2{,}4 = 30{,}555\ldots -12 =18{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Posição:
x_p(2{,}4)=v_0\cdot 2{,}4 + \frac{1}{2}a_p\cdot(2{,}4)^2.
Cálculo:
v_0\cdot 2{,}4 =30{,}555\ldots\times2{,}4=73{,}333\ldots
\frac{1}{2}a_p(2{,}4)^2=\frac{1}{2}(-5{,}0)\cdot 5{,}76 = -14{,}4
x_p(2{,}4)=73{,}333\ldots -14{,}4 =58{,}933\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;x_p(2{,}4)=58{,}93\\ \mathrm{m}.
Você em t=2{,}4\\ \mathrm{s} (ainda não freando, aceleração nula até este instante):
x_y(2{,}4)=-25+v_0\cdot 2{,}4 = -25 + 73{,}333\ldots =48{,}333\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \;x_y(2{,}4)=48{,}33\\ \mathrm{m}.
Separação no instante em que você começa a frear:
\Delta x(2{,}4)=x_p(2{,}4)-x_y(2{,}4)=58{,}933\ldots-48{,}333\ldots=10{,}600\\ \mathrm{m}.
Ou seja, \;\Delta x(2{,}4)=10{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Entender o que acontece enquanto ambos freiam com a mesma desaceleração (parte (b)) e formular a equação para a colisão.
  • No instante imediatamente antes de você começar a frear (isto é, em t=2{,}4\\ \mathrm{s}), suas velocidades são:
v_{y,\text{início}}=v_0=30{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}, \qquad v_{p,\text{início}}=18{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}.íí
  • Ao começar a frear, tanto você quanto o policial têm a mesma desaceleração \;a=-5{,}0\\ \mathrm{m/s^2}.
Em termos de movimento relativo: a aceleração relativa entre os carros é
a_{\text{rel}}=a_y-a_p=(-5{,}0)-(-5{,}0)=0.
Portanto, durante a fase em que ambos freiam com a mesma desaceleração, a velocidade relativa entre vocês permanece constante. A velocidade relativa no início dessa fase é
u_{\text{rel}}=v_{y,\text{início}}-v_{p,\text{início}} =30{,}555\ldots-18{,}555\ldots=12{,}000\\ \mathrm{m/s}.íí
Ou seja, \;u_{\text{rel}}=12{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Como a aceleração relativa é zero, a redução da distância entre os carros será uniforme com velocidade \;u_{\text{rel}}. Se a distância disponível no início dessa fase é \;d_0=\Delta x(2{,}4)=10{,}6\\ \mathrm{m}, o tempo até a colisão (após começar a frear) é
t_{\text{col}}=\frac{d_0}{u_{\text{rel}}}=\frac{10{,}6}{12{,}0}=0{,}88333\ldots\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Calcular a velocidade do seu carro no momento do impacto (parte (b)).
Sua velocidade no instante de começo da frenagem é \;v_{y,\text{início}}=30{,}555\ldots\\ \mathrm{m/s}í. Durante o tempo t_{\text{col}} você desacelera com a=-5{,}0\\ \mathrm{m/s^2}, então a velocidade no impacto é
v_{\text{impacto}}=v_{y,\text{início}}+a\cdot t_{\text{col}} =30{,}555\ldots + (-5{,}0)\cdot 0{,}88333\ldots.í
Calcular:
(-5{,}0)\cdot 0{,}88333\ldots = -4{,}41666\ldots
v_{\text{impacto}}=30{,}555\ldots -4{,}41666\ldots =26{,}1389\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente: \;v_{\text{impacto}}=26{,}14\\ \mathrm{m/s}.
Converter para \mathrm{km/h} (opcional, para intuição):
v_{\text{impacto}}=26{,}1389\\ \mathrm{m/s}\times 3{,}6 =94{,}1\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação rápida: apesar de ambos terem a mesma desaceleração, você ainda estava mais rápido ao começar a frear, então você alcança o policial; no impacto sua velocidade ainda é alta, cerca de 94\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

(a) 15{,}0\\ \mathrm{m}
(b) 26{,}14\\ \mathrm{m/s}\approx 94{,}1\\ \mathrm{km/h}

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