1. Um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. No instante t=0, o carro vermelho está em x_{A}=0 e o carro verde está em x_{B}=220 \mathrm{~m}. Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, os carros se cruzam em x=44,5 \mathrm{~m}; se tem uma velocidade de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, os carros se cruzam em x=76,6 \mathrm{~m}. Quais são (a) a velocidade inicial e (b) a aceleração do carro verde?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Posição inicial do carro vermelho: x_{A}=0.
    • Posição inicial do carro verde: x_{B}=220\\ \mathrm{m}.
    • Cenário 1: se o carro vermelho tem velocidade 20\\ \mathrm{km/h}, os carros se cruzam em x=44,5\\ \mathrm{m}.
    • Cenário 2: se o carro vermelho tem velocidade 40\\ \mathrm{km/h}, os carros se cruzam em x=76,6\\ \mathrm{m}.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) a velocidade inicial do carro verde (isto é, sua velocidade em t=0);
    • (b) a aceleração do carro verde (assumida constante).

Passo 2

Escolha de coordenadas e definição das incógnitas (não resolver ainda, só definir). Para ficar simples:
  • Adoto o eixo x na mesma direção das pistas, com sentido positivo para a direita.
  • Assim: o carro vermelho começa em \,x_{A}=0 (à esquerda) e o carro verde em \,x_{B}=220\\ \mathrm{m} (à direita).
  • Como os carros se movem um em direção ao outro, o carro vermelho se moverá para a direita (velocidade positiva) e o carro verde deverá mover-se para a esquerda (velocidade inicial negativa, se escrevermos componente ao longo do eixo x).
  • Chamarei:
    • v_{r} = velocidade do carro vermelho (conhecida em cada cenário),
    • v_{g0} = velocidade inicial do carro verde (incógnita, pode ser negativa),
    • a = aceleração constante do carro verde (incógnita, pode ser negativa).
  • Equação de movimento que vamos usar para o carro verde (fórmula básica do movimento retilíneo uniformemente acelerado): x_{g}(t)=x_{B}+v_{g0}\,t+\tfrac{1}{2}a\,t^{2},onde
    • x_{g}(t) é a posição do carro verde no instante t,
    • x_{B}=220\\ \mathrm{m} é a posição inicial,
    • v_{g0} é a velocidade inicial que queremos achar,
    • a é a aceleração (constante) que queremos achar,
    • t é o tempo contado a partir de t=0.

Passo 3

Explicar e aplicar a condição do encontro (cruzamento) entre os carros. Quando eles se cruzam num ponto x_{\text{encontro}}, as posições são iguais:
x_{r}(t)=x_{g}(t)=x_{\text{encontro}}.
Para o carro vermelho, que tem velocidade constante v_{r} e parte de x_{A}=0, vale
x_{r}(t)=v_{r}\,t.
Logo, no tempo t de encontro vale
v_{r}\,t = x_{B} + v_{g0}\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Rearranjando:
\tfrac{1}{2}a\,t^{2} + (v_{g0}-v_{r})\,t + x_{B} = 0.
Mas em vez de resolver essa equação quadrática em t, é mais simples usar que o tempo de encontro é t=x_{\text{encontro}}/v_{r} (porque x_{r}(t)=v_{r}t=x_{\text{encontro}}). Então para cada cenário podemos calcular t diretamente e inserir na expressão do carro verde:
x_{\text{encontro}} = x_{B} + v_{g0}\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^{2}.
Isso gera, para cada cenário, uma equação linear em v_{g0} e a. Como temos dois cenários (duas equações), poderemos determinar v_{g0} e a.

Passo 4

Converter unidades (muito importante): as posições estão em metros, queremos tempos em segundos, então converto as velocidades do carro vermelho para \mathrm{m/s}.
  • Para o cenário 1: v_{r1}=20\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{20\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx \,5{,}5555\\ \mathrm{m/s}.
  • Para o cenário 2: v_{r2}=40\\ \mathrm{km/h} = \dfrac{40\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = \dfrac{100}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx \,11{,}1111\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular os tempos de encontro em cada cenário usando t=x_{\text{encontro}}/v_{r}.
  • Cenário 1 (encontro em x_{1}=44,5\\ \mathrm{m}):
    t_{1}=\dfrac{44{,}5}{50/9} = 44{,}5\cdot\dfrac{9}{50} = \dfrac{400{,}5}{50} = 8{,}01\\ \mathrm{s}.
  • Cenário 2 (encontro em x_{2}=76{,}6\\ \mathrm{m}):
    t_{2}=\dfrac{76{,}6}{100/9} = 76{,}6\cdot\dfrac{9}{100} = \dfrac{689{,}4}{100} = 6{,}894\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Escrever as duas equações obtidas ao substituir cada t na expressão do carro verde:
x_{i}=x_{B}+v_{g0}\,t_{i}+\tfrac{1}{2}a\,t_{i}^{2},\qquad i=1,2.
Colocando os números (lembre que x_{B}=220\\ \mathrm{m}):
  • Para i=1 (uso t_{1}=8{,}01\\ \mathrm{s}, x_{1}=44{,}5\\ \mathrm{m}):
    v_{g0}\cdot 8{,}01 + \tfrac{1}{2}a\cdot(8{,}01)^{2} = 44{,}5 - 220 = -175{,}5.
    Calculando \tfrac{1}{2}(8{,}01)^{2}:
    \tfrac{1}{2}(8{,}01)^{2} = 32{,}08005.
    Logo a equação 1 é
    8{,}01\,v_{g0} + 32{,}08005\,a = -175{,}5.
  • Para i=2 (uso t_{2}=6{,}894\\ \mathrm{s}, x_{2}=76{,}6\\ \mathrm{m}):
    v_{g0}\cdot 6{,}894 + \tfrac{1}{2}a\cdot(6{,}894)^{2} = 76{,}6 - 220 = -143{,}4.
    Calculando \tfrac{1}{2}(6{,}894)^{2}:
    \tfrac{1}{2}(6{,}894)^{2} = 23{,}765618.
    Logo a equação 2 é
    6{,}894\,v_{g0} + 23{,}765618\,a = -143{,}4.
Agora temos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas v_{g0} e a.

Passo 7

Resolver o sistema linear. Vou usar eliminação (subtração adequada) para achar a primeiro.
Multiplico a equação 1 por 6{,}894 e a equação 2 por 8{,}01 e subtraio para eliminar v_{g0}.
  • 6{,}894\times (eq.1): 6{,}894\cdot 8{,}01\,v_{g0} + 6{,}894\cdot 32{,}08005\,a = 6{,}894\cdot(-175{,}5).
  • 8{,}01\times (eq.2): 8{,}01\cdot 6{,}894\,v_{g0} + 8{,}01\cdot 23{,}765618\,a = 8{,}01\cdot(-143{,}4).
Subtraindo a segunda da primeira (os termos em v_{g0} cancelam), obtemos:
(6{,}894\cdot 32{,}08005 - 8{,}01\cdot 23{,}765618)\,a = 6{,}894\cdot(-175{,}5) - 8{,}01\cdot(-143{,}4).
Agora calculos numéricos (mostrando as contas):
  • 6{,}894\cdot 32{,}08005 \approx 221{,}1598647.
  • 8{,}01\cdot 23{,}765618 \approx 190{,}36260018.
  • Diferença: 221{,}1598647 - 190{,}36260018 = 30{,}79726452.
No lado direito:
  • 6{,}894\cdot(-175{,}5) = -1209{,}897.
  • 8{,}01\cdot(-143{,}4) = -1148{,}634.
  • Diferença: -1209{,}897 - (-1148{,}634) = -61{,}263.
Portanto
30{,}79726452\,a = -61{,}263.
Logo
a = \dfrac{-61{,}263}{30{,}79726452}\approx -1{,}989\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Com a encontrado, voltamos à uma das equações (por exemplo a equação 1) para achar v_{g0}. Usando
8{,}01\,v_{g0} + 32{,}08005\cdot a = -175{,}5,
substituindo a\approx -1{,}989:
8{,}01\,v_{g0} = -175{,}5 - 32{,}08005\cdot(-1{,}989).
Calculo do segundo termo:
32{,}08005\cdot 1{,}989 \approx 63{,}8072.
Então
8{,}01\,v_{g0} \approx -175{,}5 + 63{,}8072 = -111{,}6928,
e
v_{g0} \approx \dfrac{-111{,}6928}{8{,}01} \approx -13{,}945\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Interpretação física e conversão de unidades para legibilidade:
  • O sinal negativo em v_{g0} indica que a velocidade inicial do carro verde tem direção para a esquerda (ou seja, dirigindo em direção ao carro vermelho), como esperado.
  • Em unidades mais familiares: v_{g0} em \mathrm{km/h} é v_{g0}\approx -13{,}945\cdot 3{,}6 \approx -50{,}2\\ \mathrm{km/h}.
  • A aceleração encontrada a\approx -1{,}989\\ \mathrm{m/s^{2}} é negativa, o que significa que a componente da aceleração também aponta para a esquerda (o carro verde está acelerando em direção ao carro vermelho ou, dependendo do sinal relativo entre v_{g0} e a, pode estar reduzindo a velocidade se a tivesse sinal oposto; aqui ambos negativos — velocidade inicial e aceleração — indicam que o carro verde começa já dirigindo para a esquerda e continua a acelerar (aumentar a velocidade negativa) nessa direção).

Resposta

v_{g0} \approx -13{,}95\\ \mathrm{m/s} \approx -50{,}2\\ \mathrm{km/h}
a \approx -1{,}99\\ \mathrm{m/s^{2}}

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