- Um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo
. No instante
, o carro vermelho está em
e o carro verde está em
. Se o carro vermelho tem uma velocidade constante de
, os carros se cruzam em
; se tem uma velocidade de
, os carros se cruzam em
. Quais são (a) a velocidade inicial e (b) a aceleração do carro verde?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
-
Dados fornecidos:
- Posição inicial do carro vermelho:
. - Posição inicial do carro verde:
. - Cenário 1: se o carro vermelho tem velocidade
, os carros se cruzam em . - Cenário 2: se o carro vermelho tem velocidade
, os carros se cruzam em .
- Posição inicial do carro vermelho:
-
O que o enunciado pede:
- (a) a velocidade inicial do carro verde (isto é, sua velocidade em
); - (b) a aceleração do carro verde (assumida constante).
- (a) a velocidade inicial do carro verde (isto é, sua velocidade em
Passo 2
Escolha de coordenadas e definição das incógnitas (não resolver ainda, só definir). Para ficar simples:
- Adoto o eixo
na mesma direção das pistas, com sentido positivo para a direita. - Assim: o carro vermelho começa em
(à esquerda) e o carro verde em (à direita). - Como os carros se movem um em direção ao outro, o carro vermelho se moverá para a direita (velocidade positiva) e o carro verde deverá mover-se para a esquerda (velocidade inicial negativa, se escrevermos componente ao longo do eixo
). - Chamarei:
-
= velocidade do carro vermelho (conhecida em cada cenário), -
= velocidade inicial do carro verde (incógnita, pode ser negativa), -
= aceleração constante do carro verde (incógnita, pode ser negativa).
-
- Equação de movimento que vamos usar para o carro verde (fórmula básica do movimento retilíneo uniformemente acelerado):
onde -
é a posição do carro verde no instante , -
é a posição inicial, -
é a velocidade inicial que queremos achar, -
é a aceleração (constante) que queremos achar, -
é o tempo contado a partir de .
-
Passo 3
Explicar e aplicar a condição do encontro (cruzamento) entre os carros. Quando eles se cruzam num ponto
, as posições são iguais:
Para o carro vermelho, que tem velocidade constante
e parte de
, vale
Logo, no tempo
de encontro vale
Rearranjando:
Mas em vez de resolver essa equação quadrática em
, é mais simples usar que o tempo de encontro é
(porque
). Então para cada cenário podemos calcular
diretamente e inserir na expressão do carro verde:
Isso gera, para cada cenário, uma equação linear em
e
. Como temos dois cenários (duas equações), poderemos determinar
e
.
Passo 4
Converter unidades (muito importante): as posições estão em metros, queremos tempos em segundos, então converto as velocidades do carro vermelho para
.
- Para o cenário 1:
- Para o cenário 2:
Passo 5
Calcular os tempos de encontro em cada cenário usando
.
-
Cenário 1 (encontro em
): -
Cenário 2 (encontro em
):
Passo 6
Escrever as duas equações obtidas ao substituir cada
na expressão do carro verde:
Colocando os números (lembre que
):
-
Para
(uso , ): Calculando: Logo a equação 1 é -
Para
(uso , ): Calculando: Logo a equação 2 é
Agora temos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas
e
.
Passo 7
Resolver o sistema linear. Vou usar eliminação (subtração adequada) para achar
primeiro.
Multiplico a equação 1 por
e a equação 2 por
e subtraio para eliminar
.
-
(eq.1): -
(eq.2):
Subtraindo a segunda da primeira (os termos em
cancelam), obtemos:
Agora calculos numéricos (mostrando as contas):
-
. -
. - Diferença:
No lado direito:
-
. -
. - Diferença:
Portanto
Logo
Passo 8
Com
encontrado, voltamos à uma das equações (por exemplo a equação 1) para achar
. Usando
substituindo
:
Calculo do segundo termo:
Então
e
Passo 9
Interpretação física e conversão de unidades para legibilidade:
- O sinal negativo em
indica que a velocidade inicial do carro verde tem direção para a esquerda (ou seja, dirigindo em direção ao carro vermelho), como esperado. - Em unidades mais familiares:
em é - A aceleração encontrada
é negativa, o que significa que a componente da aceleração também aponta para a esquerda (o carro verde está acelerando em direção ao carro vermelho ou, dependendo do sinal relativo entre e , pode estar reduzindo a velocidade se tivesse sinal oposto; aqui ambos negativos — velocidade inicial e aceleração — indicam que o carro verde começa já dirigindo para a esquerda e continua a acelerar (aumentar a velocidade negativa) nessa direção).