Quando voce empurra uma caixa para cima de uma rampa, a força que voce exerce emporrando horizontalnente é maior ou menor que a força que exerce emporrando paralelamente ao plano da rampa? Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta qual das duas forças que você aplica para empurrar uma caixa para cima de uma rampa tem maior módulo: a força aplicada horizontalmente ou a força aplicada paralelamente ao plano da rampa. Dados/quantidades que vamos usar (o enunciado não as dá numericamente, então as deixamos simbólicas):
\;m = massa da caixa,
\;g = aceleração da gravidade,
\;\theta = ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal.
A pergunta é: qual força (o módulo) é maior? e por quê?

Passo 2

Escolha do método e suposições:
  • Vou comparar as forças necessárias para mover a caixa com velocidade constante (ou seja, sem aceleração) — essa é a situação mais simples e comum para comparar esforços necessários. Isso nos permite usar equilíbrio de forças ao longo da direção do movimento.
  • Primeiro faço o caso sem atrito (mais simples). Depois comento o efeito do atrito (vai reforçar o resultado).
  • Método: desenhar o diagrama de forças (diagrama de corpo livre) e decompor vetores nas direções “paralela à rampa” e “normal à rampa”. Essa decomposição usando trigonometria é a ferramenta básica aqui.

Passo 3

Forças relevantes e decomposição do peso:
  • A força peso atua verticalmente para baixo; o módulo é \;mg.
  • Decompomos \;mg em duas componentes relativas à rampa: \text{componente ao longo da rampa (para baixo)} = mg\sin\theta,
\text{componente normal (perpendicular ao plano)} = mg\cos\theta.
Explicação didática: a componente ao longo da rampa é a parte do peso que tenta “puxar” o objeto para baixo ao longo do plano inclinado; obtém-se usando o triângulo retângulo formado pelos vetores e as razões trigonométricas \sin\theta e \cos\theta.

Passo 4

Caso A — empurrando paralelamente ao plano (direção ao longo da rampa):
  • Seja \;F_{\parallel} o módulo da força aplicada exatamente paralela e para cima ao longo da rampa.
  • Para mover com velocidade constante (equilíbrio ao longo da rampa) temos: F_{\parallel} - mg\sin\theta = 0.
  • Logo F_{\parallel} = mg\sin\theta.
Interpretação: toda a força aplicada paralela ao plano vai diretamente combater a componente do peso que puxa para baixo na rampa.

Passo 5

Caso B — empurrando horizontalmente:
  • Seja \;F_{h} o módulo da força aplicada horizontalmente (para a direita, por exemplo). A direção da rampa forma ângulo \theta com a horizontal.
  • Projetamos a força horizontal na direção ao longo da rampa: apenas a componente F_{h}\cos\theta contribui para puxar a caixa ao longo da rampa (porque a projeção de um vetor horizontal na direção inclinada é multiplicada por \cos\theta).
  • Equilíbrio ao longo da rampa (sem atrito) exige: F_{h}\cos\theta - mg\sin\theta = 0.
  • Portanto F_{h} = mg\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = mg\tan\theta.

Passo 6

Comparação algébrica entre as duas forças:
  • Temos F_{\parallel} = mg\sin\theta,
F_{h} = mg\tan\theta.
  • Como \displaystyle \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} e \cos\theta<1 para 0<\theta<90^\circ, segue que F_{h} = \frac{F_{\parallel}}{\cos\theta} > F_{\parallel}.
  • Conclusão matemática (sem atrito): a força horizontal necessária é maior que a força paralela.

Passo 7

Intuição física simples (por que isso acontece):
  • Quando você empurra paralelo à rampa, toda sua força vai na direção correta: “subir” ao longo do plano.
  • Quando empurra horizontalmente, uma parte da sua força “acerta” na parede do plano (aumenta a componente normal): apenas a fração \cos\theta do seu empurrão se transforma em força ao longo do plano; para compensar isso você precisa aplicar mais força total.
  • Além disso, empurrar horizontalmente aumenta a força normal sobre a caixa (componente perpendicular da força horizontal é \;F_{h}\sin\theta), o que, se houver atrito, aumenta a força de atrito e torna o esforço ainda maior.

Passo 8

Comentário sobre atrito (caso realista):
  • Se houver coeficiente de atrito \mu, a força normal na situação horizontal fica maior: N = mg\cos\theta + F_{h}\sin\theta. A força de atrito vale \mu N e aparece subtraindo do componente que empurra para cima. A equação ao longo da rampa fica F_{h}\cos\theta - mg\sin\theta - \mu\big(mg\cos\theta + F_{h}\sin\theta\big) = 0,que leva a um F_{h} ainda maior do que no caso sem atrito. Por outro lado, o empurrão paralelo não altera a normal (fica N=mg\cos\theta), então o caso paralelo ainda permanece vantajoso ou menos custoso.
  • Portanto com atrito a vantagem de empurrar paralelo ao plano é ainda maior.

Passo 9

Exemplo numérico rápido para visualizar:
  • Tome \;m=10\\ \text{kg}, \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^2, \;\theta=30^\circ.
  • Empurrando paralelo: F_{\parallel}=mg\sin\theta=10\cdot 9{,}8\cdot\sin30^\circ=98\cdot 0{,}5=49\\ \text{N}.
  • Empurrando horizontal: F_{h}=mg\tan\theta=98\cdot\tan30^\circ\approx 98\cdot 0{,}577=56{,}6\\ \text{N}.
  • Veja que F_{h}>F_{\parallel} concretamente.

Resposta

A força exercida empurrando horizontalmente é maior do que a força exercida empurrando paralelamente ao plano.

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