Você empurra um corpo, inicialmente em repouso, por um assoalho sem atrito com uma velocidade constante por um intervalo de tempo \Delta t, resultando em uma velocidade final v para o corpo. Você, entāo, repete a experiência, mas com uma força que é duas vezes maior. Qual é o intervalo de tempo necessário agora para atingir a mesma velocidade final v ? (a) 4 \Delta t (b) 2 \Delta t( c ) \Delta t( d ) \Delta t / 2( e ) \Delta t / 4.

Passo 1

O enunciado pede para comparar o intervalo de tempo necessário para atingir a mesma velocidade final quando a força aplicada é duplicada. Dados e condições fornecidas pelo enunciado:
  • O corpo está inicialmente em repouso.
  • O movimento ocorre sobre um assoalho sem atrito (portanto, nenhuma força de atrito atua).
  • Na primeira experiência uma força constante (vou entender que se trata de força constante) é aplicada durante um intervalo de tempo \Delta t e a velocidade final do corpo após esse tempo é \,v.
  • Na segunda experiência a força aplicada é o dobro da anterior (isto é, 2 vezes a força original). Pergunta: qual é o intervalo de tempo necessário agora para atingir a mesma velocidade final \,v? As alternativas são: (a) 4\Delta t, (b) 2\Delta t, (c) \Delta t, (d) \Delta t/2, (e) \Delta t/4.

Passo 2

Conceito essencial: relação força-­massa-­aceleração (segunda lei de Newton).
Expliquei a fórmula e o que cada símbolo significa:
F = m a
onde
  • F é a força resultante aplicada ao corpo (em newtons),
  • m é a massa do corpo (em quilogramas),
  • a é a aceleração do corpo (em metros por segundo ao quadrado).
    Como o piso é sem atrito e assumimos que a força aplicada é a única força horizontal relevante, essa força produz uma aceleração uniforme dada por a = F/m.

Passo 3

Relação entre aceleração constante e velocidade (partindo de repouso).
Quando a aceleração é constante e o corpo parte do repouso (velocidade inicial 0), a velocidade após um tempo t é:
v(t) = a\,t
onde v(t) é a velocidade após o tempo t e a é a aceleração constante. Aqui todas as variáveis estão em notação comum: v em \text{m/s}, a em \text{m/s}^2, t em \text{s}.

Passo 4

Aplicando as fórmulas ao primeiro experimento (força original).
Denotemos:
  • F a força inicial,
  • a_1 a aceleração produzida por F,
  • \Delta t o tempo em que essa força age,
  • v a velocidade final obtida (dada).
    Pela segunda lei:
a_1 = \frac{F}{m}.
Pela relação velocidade-tempo (partindo do repouso) temos:
v = a_1\,\Delta t.
Aqui podemos isolar a_1 ou relacionar \Delta t com v. Por exemplo,
a_1 = \frac{v}{\Delta t}.

Passo 5

Agora a segunda experiência: força duplicada.
Na segunda experiência a força aplicada é 2F. A nova aceleração a_2 (mesma massa m) vale:
a_2 = \frac{2F}{m} = 2\left(\frac{F}{m}\right) = 2a_1.
Ou seja, duplicar a força duplica a aceleração, porque massa é a mesma.

Passo 6

Calcular o novo tempo necessário para atingir a mesma velocidade v.
Usando a fórmula v = a_2\,\Delta t', onde \Delta t' é o tempo que queremos encontrar:
\Delta t' = \frac{v}{a_2}.
Substituindo a_2 = 2a_1 e lembrando que a_1 = v/\Delta t (do Passo 4), temos:
\Delta t' = \frac{v}{2a_1} = \frac{v}{2\left(\dfrac{v}{\Delta t}\right)}.
Simplificando:
\Delta t' = \frac{v}{2}\cdot\frac{\Delta t}{v} = \frac{\Delta t}{2}.

Passo 7

Interpretação e incentivo.
O resultado diz que, ao dobrar a força sobre o mesmo corpo (mesma massa) em um piso sem atrito, a aceleração dobra e, portanto, o tempo para atingir a mesma velocidade é reduzido à metade. Legal, né? Você conseguiu entender a lógica: força → aceleração (proporcional), aceleração → velocidade (proporcional ao tempo).

Resposta

\Delta t/2

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