Você é um engenheiro encarregado de estudar o crescimento populacional de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. Sabe-se que o crescimento populacional das bactérias segue uma sequência numérica que se assemelha à sequência de Fibonacci. Inicialmente, a colônia possui 1 bactéria. A cada dia, cada bactéria existente gera uma nova bactéria, e uma bactéria recém-nascida só se torna capaz de reproduzir após 5 dias de vida. As bactérias não morrem ao longo do tempo.
Perguntas:
a) Construa uma tabela representando a população de bactérias para os primeiros 10 dias.
b) Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia
e a população do dia
.
c) Qual é a população de bactérias após 30 dias?
b) Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia
c) Qual é a população de bactérias após 30 dias?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as decisões que vou adotar (sem pedir nada a você).
- Informação dada: inicialmente há
bactéria; a cada dia cada bactéria reprodutora gera uma nova bactéria; uma bactéria recém-nascida só se torna reprodutora após dias de vida; as bactérias não morrem. - Vou indexar os dias por
, e definir como a população total de bactérias no final do dia . - Decisão (assunção explícita, necessária para modelar): a bactéria inicial é já reprodutora desde o dia
(isto é, ela gera descendentes todos os dias desde o começo). Uma bactéria nascida no final do dia só passa a gerar filhotes a partir do final do dia (ou seja, precisa completar 5 dias de vida e só no sexto dia depois do nascimento começa a reproduzir). Essa escolha é a interpretação natural da frase “após 5 dias de vida”. - Objetivos pedidos:
(a) construir tabela da população para os primeirosdias;
(b) determinar a razão(razão dia a dia);
(c) encontrar, população após dias.
Passo 2
Como pensar no crescimento: raciocínio por coortes (aula curta e prática).
- Pense nas bactérias agrupadas pela idade (coortes). Cada dia:
- Todas as bactérias reprodutoras geram exatamente uma nova bactéria.
- As recém-nascidas só se tornam reprodutoras depois de completarem
dias de vida.
- Logo, os novos nascimentos no dia
vêm só das bactérias que já tinham pelo menos dias completos no final do dia . Em termos de índice discreto, isso leva à seguinte relação recursiva (fórmula):
onde
é o número de novos nascimentos no dia
.
- O número
é exatamente o número de bactérias que, no final do dia , já tinham idade . Essas bactérias são precisamente as que existiam no final do dia (porque quem nasceu até o final do dia já terá completado 5 dias ao final do dia ). Assim obtemos a recursão (material importante para a prova):
Explicando as variáveis:
é população no final do dia
, e
é a população no final do dia
, que coincide com o número de indivíduos que já estarão aptos a reproduzir no dia
.
Passo 3
Condições iniciais (por que e como definimos
).
- A bactéria inicial é reprodutora desde o começo. Nos primeiros
dias nenhuma das recém-nascidas já nasceu há tempo suficiente para reproduzir. Assim, durante os primeiros dias cada dia a única bactéria reprodutora extra que sempre existiu (a inicial) gera exatamente 1 nova bateria por dia. - Começando com
(população no final do dia 1 — nesse modelo interpretamos que no “final do dia 1” já conta a bactéria inicial), se a bactéria inicial gera uma nova a cada dia, então a população cresce de por dia até que as primeiras recém-nascidas completem 5 dias. - Portanto os valores iniciais (base para a recursão) ficam naturalmente:
Explicação curta: no final do dia
para
há exatamente
bactérias: a original mais
recém-nascidas geradas diariamente pela original.
Passo 4
Construção passo a passo da tabela dos primeiros
dias usando a recursão.
- Já temos
do passo anterior. - Para
usamos .
Calculemos:
Montando a tabela dia a dia (final do dia
):
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
- Dia
Comentário didático: note que até o dia
o crescimento é linear (soma de
por dia) porque só a bactéria inicial estava apta a reproduzir; a partir do dia
começa a contribuir a primeira coorte de recém-nascidos que já completaram 5 dias.
Passo 5
Cálculo das razões de crescimento
para os primeiros saltos (razões dia a dia).
- Definição pedida: razão do dia
para o é . - Usando a tabela de cima, calculemos as razões
para :
Dica de prova: escreva sempre a razão em forma de fração simples (ex.:
) e, se precisar, dê a aproximação decimal com 3 ou 4 casas significativas.]
Passo 6
Cálculo iterativo até
dias (para responder c). Vou aplicar a recursão sucessivamente e listar
de
até
para transparência (importante em prova: mostrar iteração limpa).
Usando :
Usando
Portanto a população após
dias é
.
Resposta
a) Tabela (população no final de cada dia):
b) Razões
(para
):
c) População após
dias: