Você é um engenheiro encarregado de estudar o crescimento populacional de uma colônia de bactérias em um ambiente controlado. Sabe-se que o crescimento populacional das bactérias segue uma sequência numérica que se assemelha à sequência de Fibonacci. Inicialmente, a colônia possui 1 bactéria. A cada dia, cada bactéria existente gera uma nova bactéria, e uma bactéria recém-nascida só se torna capaz de reproduzir após 5 dias de vida. As bactérias não morrem ao longo do tempo.

Perguntas:

a) Construa uma tabela representando a população de bactérias para os primeiros 10 dias.
b) Determine a razão de crescimento populacional de um dia para o próximo, ou seja, a razão entre a população do dia \mathfrak{n}+1 e a população do dia \mathfrak{n}.
c) Qual é a população de bactérias após 30 dias?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e as decisões que vou adotar (sem pedir nada a você).
  • Informação dada: inicialmente há 1 bactéria; a cada dia cada bactéria reprodutora gera uma nova bactéria; uma bactéria recém-nascida só se torna reprodutora após 5 dias de vida; as bactérias não morrem.
  • Vou indexar os dias por n=1,2,3,\dots, e definir A_n como a população total de bactérias no final do dia n.
  • Decisão (assunção explícita, necessária para modelar): a bactéria inicial é já reprodutora desde o dia 1 (isto é, ela gera descendentes todos os dias desde o começo). Uma bactéria nascida no final do dia t só passa a gerar filhotes a partir do final do dia t+5 (ou seja, precisa completar 5 dias de vida e só no sexto dia depois do nascimento começa a reproduzir). Essa escolha é a interpretação natural da frase “após 5 dias de vida”.
  • Objetivos pedidos:
    (a) construir tabela da população para os primeiros 10 dias;
    (b) determinar a razão A_{n+1}/A_n (razão dia a dia);
    (c) encontrar A_{30}, população após 30 dias.

Passo 2

Como pensar no crescimento: raciocínio por coortes (aula curta e prática).
  • Pense nas bactérias agrupadas pela idade (coortes). Cada dia:
    1. Todas as bactérias reprodutoras geram exatamente uma nova bactéria.
    2. As recém-nascidas só se tornam reprodutoras depois de completarem 5 dias de vida.
  • Logo, os novos nascimentos no dia n vêm só das bactérias que já tinham pelo menos 5 dias completos no final do dia n-1. Em termos de índice discreto, isso leva à seguinte relação recursiva (fórmula):
A_n = A_{n-1} + B_n,
onde B_n é o número de novos nascimentos no dia n.
  • O número B_n é exatamente o número de bactérias que, no final do dia n-1, já tinham idade \ge 5. Essas bactérias são precisamente as que existiam no final do dia n-5-1=n-6 (porque quem nasceu até o final do dia n-6 já terá completado 5 dias ao final do dia n-1). Assim obtemos a recursão (material importante para a prova):
\boxed{A_n = A_{n-1} + A_{n-6}} \qquad\text{para }n\ge 7.
Explicando as variáveis: A_n é população no final do dia n, e A_{n-6} é a população no final do dia n-6, que coincide com o número de indivíduos que já estarão aptos a reproduzir no dia n.

Passo 3

Condições iniciais (por que e como definimos A_1,\dots,A_6).
  • A bactéria inicial é reprodutora desde o começo. Nos primeiros 5 dias nenhuma das recém-nascidas já nasceu há tempo suficiente para reproduzir. Assim, durante os primeiros 6 dias cada dia a única bactéria reprodutora extra que sempre existiu (a inicial) gera exatamente 1 nova bateria por dia.
  • Começando com A_1=1 (população no final do dia 1 — nesse modelo interpretamos que no “final do dia 1” já conta a bactéria inicial), se a bactéria inicial gera uma nova a cada dia, então a população cresce de +1 por dia até que as primeiras recém-nascidas completem 5 dias.
  • Portanto os valores iniciais (base para a recursão) ficam naturalmente:
A_1=1,\; A_2=2,\; A_3=3,\; A_4=4,\; A_5=5,\; A_6=6.
Explicação curta: no final do dia k para 1\le k\le 6 há exatamente k bactérias: a original mais k-1 recém-nascidas geradas diariamente pela original.

Passo 4

Construção passo a passo da tabela dos primeiros 10 dias usando a recursão.
  • Já temos A_1,\dots,A_6 do passo anterior.
  • Para n\ge 7 usamos A_n=A_{n-1}+A_{n-6}.
    Calculemos:
\begin{aligned} A_7 &= A_6 + A_1 = 6 + 1 = 7,\\\ A_8 &= A_7 + A_2 = 7 + 2 = 9,\\\ A_9 &= A_8 + A_3 = 9 + 3 = 12,\\\ A_{10} &= A_9 + A_4 = 12 + 4 = 16. \end{aligned}
Montando a tabela dia a dia (final do dia n):
  • Dia 1: A_1=1
  • Dia 2: A_2=2
  • Dia 3: A_3=3
  • Dia 4: A_4=4
  • Dia 5: A_5=5
  • Dia 6: A_6=6
  • Dia 7: A_7=7
  • Dia 8: A_8=9
  • Dia 9: A_9=12
  • Dia 10: A_{10}=16
Comentário didático: note que até o dia 6 o crescimento é linear (soma de +1 por dia) porque só a bactéria inicial estava apta a reproduzir; a partir do dia 7 começa a contribuir a primeira coorte de recém-nascidos que já completaram 5 dias.

Passo 5

Cálculo das razões de crescimento A_{n+1}/A_n para os primeiros saltos (razões dia a dia).
  • Definição pedida: razão do dia n para o n+1 é \dfrac{A_{n+1}}{A_n}.
  • Usando a tabela de cima, calculemos as razões r_n=\dfrac{A_{n+1}}{A_n} para n=1,\dots,9:
\begin{aligned} r_1&=\dfrac{A_2}{A_1}=\dfrac{2}{1}=2,\\[4pt] r_2&=\dfrac{A_3}{A_2}=\dfrac{3}{2}= \dfrac{3}{2}=1,5,\\[4pt] r_3&=\dfrac{A_4}{A_3}=\dfrac{4}{3}\approx 1,333\ldots,\\[4pt] r_4&=\dfrac{A_5}{A_4}=\dfrac{5}{4}=1,25,\\[4pt] r_5&=\dfrac{A_6}{A_5}=\dfrac{6}{5}=1,2,\\[4pt] r_6&=\dfrac{A_7}{A_6}=\dfrac{7}{6}\approx 1,1667,\\[4pt] r_7&=\dfrac{A_8}{A_7}=\dfrac{9}{7}\approx 1,2857,\\[4pt] r_8&=\dfrac{A_9}{A_8}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\approx 1,3333,\\[4pt] r_9&=\dfrac{A_{10}}{A_9}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}\approx 1,3333. \end{aligned}
Dica de prova: escreva sempre a razão em forma de fração simples (ex.: \tfrac{12}{9}) e, se precisar, dê a aproximação decimal com 3 ou 4 casas significativas.]

Passo 6

Cálculo iterativo até 30 dias (para responder c). Vou aplicar a recursão sucessivamente e listar A_n de n=11 até 30 para transparência (importante em prova: mostrar iteração limpa).
Usando A_n=A_{n-1}+A_{n-6}:
\begin{aligned} A_{11}&=A_{10}+A_5=16+5=21,\\\ A_{12}&=A_{11}+A_6=21+6=27,\\\ A_{13}&=A_{12}+A_7=27+7=34,\\\ A_{14}&=A_{13}+A_8=34+9=43,\\\ A_{15}&=A_{14}+A_9=43+12=55,\\\ A_{16}&=A_{15}+A_{10}=55+16=71,\\\ A_{17}&=A_{16}+A_{11}=71+21=92,\\\ A_{18}&=A_{17}+A_{12}=92+27=119,\\\ A_{19}&=A_{18}+A_{13}=119+34=153,\\\ A_{20}&=A_{19}+A_{14}=153+43=196,\\\ A_{21}&=A_{20}+A_{15}=196+55=251,\\\ A_{22}&=A_{21}+A_{16}=251+71=322,\\\ A_{23}&=A_{22}+A_{17}=322+92=414,\\\ A_{24}&=A_{23}+A_{18}=414+119=533,\\\ A_{25}&=A_{24}+A_{19}=533+153=686,\\\ A_{26}&=A_{25}+A_{20}=686+196=882,\\\ A_{27}&=A_{26}+A_{21}=882+251=1133,\\\ A_{28}&=A_{27}+A_{22}=1133+322=1455,\\\ A_{29}&=A_{28}+A_{23}=1455+414=1869,\\\ A_{30}&=A_{29}+A_{24}=1869+533=2402. \end{aligned}
Portanto a população após 30 dias é \;A_{30}=2402.

Resposta

a) Tabela (população no final de cada dia): A_1=1,\; A_2=2,\; A_3=3,\; A_4=4,\; A_5=5,\; A_6=6,\; A_7=7,\; A_8=9,\; A_9=12,\; A_{10}=16.
b) Razões A_{n+1}/A_n (para n=1,\dots,9):
\dfrac{A_2}{A_1}=2,\; \dfrac{A_3}{A_2}=\dfrac{3}{2}=1,5,\; \dfrac{A_4}{A_3}=\dfrac{4}{3}\approx1,333\ldots,\; \dfrac{A_5}{A_4}=\dfrac{5}{4}=1,25,\; \dfrac{A_6}{A_5}=\dfrac{6}{5}=1,2,\; \dfrac{A_7}{A_6}=\dfrac{7}{6}\approx1,1667,\; \dfrac{A_8}{A_7}=\dfrac{9}{7}\approx1,2857,\; \dfrac{A_9}{A_8}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\approx1,3333,\; \dfrac{A_{10}}{A_9}=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}\approx1,3333.
c) População após 30 dias: A_{30}=2402.

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