Calcule a solução do PVI
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial (PVI) e a condição inicial:
Informações relevantes que temos:
- A equação pode ser escrita como uma equação diferencial ordinária em
versus . - A condição inicial é
.
O que o enunciado pede: - Determinar a curva solução que satisfaz a equação diferencial e passa por
.]
Passo 2
Vamos transformar a equação em uma forma mais familiar (derivada
) para tentar resolvê-la passo a passo.
A equação dada é
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
localmente) obtemos
Isolando
,
Essa forma tem o termo
que é singular em
. Uma ideia útil é tentar transformar a equação usando
, porque
aparece na equação original e porque a derivada de
elimina a divisão por
.
Defina
Pela regra da cadeia,
Substituindo
da equação anterior, temos
Como
, isso vira uma equação linear em
:
Colocando na forma padrão de equação linear de primeira ordem,
Passo 3
Agora resolvemos a equação linear em
:
A fator integrante é
Multiplicando a equação por
torna a equação exata no sentido de derivada do produto:
Integramos em
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Para aplicar a condição inicial
(logo
) é conveniente usar a integral definida para eliminar a constante
. Integramos dos pontos
até
:
Como
, o segundo termo da esquerda some, ficando
Isolando
,
Lembrando que
, obtemos
Passo 5
Tomando raiz quadrada, a solução implícita (em forma explícita para
) é
Observações importantes sobre domínio e sinal:
- O integrando
é contínuo, então a integral definida está bem definida para qualquer . - Para
a integral é negativa (porque é negativo na vizinhança de e o expoente não muda o sinal), o que torna o lado direito negativo e não gera real. Para a integral fica positiva, então é real para . - Portanto a solução real que passa por
existe na direção para a esquerda de (ou seja para ). O sinal ou deve ser escolhido conforme a continuidade/ramificação da solução na região considerada; como ambos os sinais coincidem no ponto inicial, e a equação original possui singularidade em que impede garantir unicidade no sentido usual.