Calcule a solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} y d y+\left(y^{2} x-1\right) x d x=0 \\\ \text { a curva solução passa por }(-2,0) \end{array}\right.çã

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial (PVI) e a condição inicial:
\left\{\begin{array}{l} y\,dy+\big(y^{2}x-1\big)x\,dx=0,\\[4pt] \text{a curva solução passa por }(-2,0). \end{array}\right.çã
Informações relevantes que temos:
  • A equação pode ser escrita como uma equação diferencial ordinária em y versus x.
  • A condição inicial é y(-2)=0.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a curva solução que satisfaz a equação diferencial e passa por (-2,0).]

Passo 2

Vamos transformar a equação em uma forma mais familiar (derivada dy/dx) para tentar resolvê-la passo a passo.
A equação dada é
y\,dy + \big(y^{2}x-1\big)x\,dx = 0.
Dividindo ambos os lados por dx (assumindo dx\neq0 localmente) obtemos
y\,\frac{dy}{dx} + x\big(y^{2}x-1\big)=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = -\frac{x\big(y^{2}x-1\big)}{y} = -x^{2}y + \frac{x}{y}.
Essa forma tem o termo \dfrac{x}{y} que é singular em y=0. Uma ideia útil é tentar transformar a equação usando u=y^{2}, porque y^{2} aparece na equação original e porque a derivada de y^{2} elimina a divisão por y.
Defina \;u(x)=y(x)^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{du}{dx} = 2y\frac{dy}{dx}.
Substituindo \dfrac{dy}{dx} da equação anterior, temos
\frac{du}{dx} = 2y\Big(-x^{2}y + \frac{x}{y}\Big) = 2\big(-x^{2}y^{2} + x\big).
Como y^{2}=u, isso vira uma equação linear em u:
\frac{du}{dx} = -2x^{2}u + 2x.
Colocando na forma padrão de equação linear de primeira ordem,
\frac{du}{dx} + 2x^{2}u = 2x.

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear em u:
\frac{du}{dx} + p(x)u = q(x),\qquad\text{com }p(x)=2x^{2},\; q(x)=2x.
A fator integrante é
\mu(x)=\exp\Big(\int p(x)\,dx\Big)=\exp\Big(\int 2x^{2}\,dx\Big)=\exp\Big(\frac{2}{3}x^{3}\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) torna a equação exata no sentido de derivada do produto:
\frac{d}{dx}\Big(u\,e^{\frac{2}{3}x^{3}}\Big) = q(x)\,e^{\frac{2}{3}x^{3}} = 2x\,e^{\frac{2}{3}x^{3}}.
Integramos em x:
u(x)\,e^{\frac{2}{3}x^{3}} = \int 2x\,e^{\frac{2}{3}x^{3}}\,dx + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Para aplicar a condição inicial y(-2)=0 (logo u(-2)=0) é conveniente usar a integral definida para eliminar a constante C. Integramos dos pontos -2 até x:
u(x)\,e^{\frac{2}{3}x^{3}} - u(-2)\,e^{\frac{2}{3}(-2)^{3}} = \int_{-2}^{x} 2t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt.
Como u(-2)=0, o segundo termo da esquerda some, ficando
u(x)\,e^{\frac{2}{3}x^{3}} = \int_{-2}^{x} 2t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt.
Isolando u(x),
u(x) = 2\,e^{-\frac{2}{3}x^{3}}\int_{-2}^{x} t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt.
Lembrando que u=y^{2}, obtemos
y(x)^{2} = 2\,e^{-\frac{2}{3}x^{3}}\int_{-2}^{x} t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt.

Passo 5

Tomando raiz quadrada, a solução implícita (em forma explícita para y) é
y(x)=\pm\sqrt{\,2\,e^{-\frac{2}{3}x^{3}}\int_{-2}^{x} t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt\, }.
Observações importantes sobre domínio e sinal:
  • O integrando t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}} é contínuo, então a integral definida está bem definida para qualquer x.
  • Para x>-2 a integral \int_{-2}^{x} t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt é negativa (porque t é negativo na vizinhança de -2 e o expoente não muda o sinal), o que torna o lado direito negativo e não gera y real. Para x<-2 a integral fica positiva, então y é real para x\le-2.
  • Portanto a solução real que passa por (-2,0) existe na direção para a esquerda de -2 (ou seja para x\le-2). O sinal + ou - deve ser escolhido conforme a continuidade/ramificação da solução na região considerada; como y(-2)=0 ambos os sinais coincidem no ponto inicial, e a equação original possui singularidade em y=0 que impede garantir unicidade no sentido usual.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\,2\,e^{-\frac{2}{3}x^{3}}\displaystyle\int_{-2}^{x} t\,e^{\frac{2}{3}t^{3}}\,dt\,},\qquad \text{domínio real: }x\le-2.í

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