Resolva a EDO abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a sua solução (a solução geral). Informações/observações extraídas do enunciado:
- A incógnita é
função de . - Aparecem funções trigonométricas:
e . - Há restrições óbvias de domínio onde a equação não está bem definida:
(pois aparece) e (isto é, ) — nesses pontos a EDO não é válida. - O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) que satisfaça essa EDO.
Passo 2
Isolar os diferenciais para separar as variáveis. Começo manipulando algebricamente a equação:
Multiplico ambos os lados por
e depois divido por
, obtendo
Agora separo os diferenciais, passando o fator que depende de
para a esquerda e o que depende de
para a direita:
Vamos simplificar a parte em
. Usando
e
, obtemos
Portanto a separação fica
Passo 3
Integrar o lado esquerdo. Faço a substituição natural
, então
, ou seja
. Assim
Integro usando a regra
(válida para
). Aqui
, então
. Assim
Voltando a
,
, e
. Logo
Passo 4
Integrar o lado direito:
Como o numerador tem grau maior que o denominador, faço divisão polinomial primeiro. Dividindo
por
obtém-se quociente
e resto
. Assim
Logo
Passo 5
Tratar
. Observação útil:
. Posso separar o numerador em parte proporcional a
e o resto:
Assim
Integrando a primeira parcela obtemos claramente
. Portanto
Passo 6
Resolver
. Factorizo o denominador:
Faço decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
e igualando coeficientes obtém-se o sistema que dá
,
,
. Assim
Agora integro cada termo. Para o primeiro:
Para o segundo, manipulo o numerador para usar substituição. Note que
. Escrevo
A primeira parcela integra para
(substituição
), e a segunda é um arco-tangente:
Juntando, obtemos
Passo 7
Agora retorno ao integral do lado direito completo. Reunindo as partes:
Calculando
e substituindo a expressão encontrada no Passo 6, obtemos (até uma constante de integração
)
Passo 8
Igualando as integrais do Passo 3 (lado esquerdo) e do Passo 7 (lado direito) obtemos a solução implícita geral da EDO:
onde
é constante arbitrária de integração. Esta expressão pode ser deixada como solução implícita; isolar
explicitamente daria
e então
, o que normalmente não melhora a forma prática da solução.