Resolva a EDO abaixo por separação de variáveis:
\left(x^{3}-8\right) \tan (y) \frac{d y}{d x}=\frac{x^{5}+x+1}{\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(x^{3}-8\right)\tan(y)\,\frac{dy}{dx}=\frac{x^{5}+x+1}{\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}}
e pede a sua solução (a solução geral). Informações/observações extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y função de x.
  • Aparecem funções trigonométricas: \tan(y) e \operatorname{sec}(y).
  • Há restrições óbvias de domínio onde a equação não está bem definida: \cos y\neq0 (pois \operatorname{sec} y aparece) e x^{3}-8\neq0 (isto é, x\neq2) — nesses pontos a EDO não é válida.
  • O objetivo é encontrar a solução geral (implícita ou explícita) que satisfaça essa EDO.

Passo 2

Isolar os diferenciais para separar as variáveis. Começo manipulando algebricamente a equação:
\left(x^{3}-8\right)\tan(y)\,\frac{dy}{dx}=\frac{x^{5}+x+1}{\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}}.
Multiplico ambos os lados por \sqrt[3]{\operatorname{sec} y} e depois divido por x^{3}-8, obtendo
\tan(y)\,\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}\,\frac{dy}{dx}=\frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}.
Agora separo os diferenciais, passando o fator que depende de y para a esquerda e o que depende de x para a direita:
\tan(y)\,\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}\,dy=\frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx.
Vamos simplificar a parte em y. Usando \tan(y)=\dfrac{\sin y}{\cos y} e \sqrt[3]{\operatorname{sec} y}=(\operatorname{sec} y)^{1/3}=(\cos y)^{-1/3}, obtemos
\tan(y)\,\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}=\frac{\sin y}{\cos y}\cdot\cos^{-1/3}y=\sin y\cdot\cos^{-4/3}y.
Portanto a separação fica
\sin y\;\cos^{-4/3}y\,dy=\frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx.

Passo 3

Integrar o lado esquerdo. Faço a substituição natural u=\cos y, então du=-\sin y\,dy, ou seja \sin y\,dy=-du. Assim
\int \sin y\;\cos^{-4/3}y\,dy=\int -u^{-4/3}\,du.
Integro usando a regra \int u^{n}\,du=\dfrac{u^{n+1}}{n+1} (válida para n\neq-1). Aqui n=-\tfrac{4}{3}, então n+1=-\tfrac{1}{3}. Assim
\int -u^{-4/3}\,du = -\frac{u^{-1/3}}{-1/3}=3u^{-1/3}.
Voltando a y, u=\cos y, e u^{-1/3}=(\cos y)^{-1/3}=\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}. Logo
\int \sin y\;\cos^{-4/3}y\,dy = 3\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}.

Passo 4

Integrar o lado direito:
\int \frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx.
Como o numerador tem grau maior que o denominador, faço divisão polinomial primeiro. Dividindo x^{5}+x+1 por x^{3}-8 obtém-se quociente x^{2} e resto 8x^{2}+x+1. Assim
\frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}=x^{2}+\frac{8x^{2}+x+1}{x^{3}-8}.
Logo
\int \frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\frac{8x^{2}+x+1}{x^{3}-8}\,dx.

Passo 5

Tratar \displaystyle\int\frac{8x^{2}+x+1}{x^{3}-8}\,dx. Observação útil: \dfrac{d}{dx}(x^{3}-8)=3x^{2}. Posso separar o numerador em parte proporcional a 3x^{2} e o resto:
8x^{2}+x+1=\frac{8}{3}\cdot 3x^{2} + (x+1).
Assim
\frac{8x^{2}+x+1}{x^{3}-8}=\frac{8}{3}\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}-8}+\frac{x+1}{x^{3}-8}.
Integrando a primeira parcela obtemos claramente \dfrac{8}{3}\ln|x^{3}-8|. Portanto
\int\frac{8x^{2}+x+1}{x^{3}-8}\,dx=\frac{8}{3}\ln|x^{3}-8|+\int\frac{x+1}{x^{3}-8}\,dx.

Passo 6

Resolver \displaystyle\int\frac{x+1}{x^{3}-8}\,dx. Factorizo o denominador:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4).
Faço decomposição em frações parciais:
\frac{x+1}{x^{3}-8}=\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+4}.
Multiplicando por x^{3}-8 e igualando coeficientes obtém-se o sistema que dá A=\tfrac{1}{4}, B=-\tfrac{1}{4}, C=0. Assim
\frac{x+1}{x^{3}-8}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^{2}+2x+4}.
Agora integro cada termo. Para o primeiro:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-2}\,dx=\frac{1}{4}\ln|x-2|.
Para o segundo, manipulo o numerador para usar substituição. Note que x^{2}+2x+4=(x+1)^{2}+3. Escrevo
-\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^{2}+2x+4}=-\frac{1}{4}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}(2x+2)-1}{x^{2}+2x+4}=-\frac{1}{8}\cdot\frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{2}+2x+4}.
A primeira parcela integra para -\tfrac{1}{8}\ln(x^{2}+2x+4) (substituição v=x^{2}+2x+4), e a segunda é um arco-tangente:
\int\frac{1}{x^{2}+2x+4}\,dx=\int\frac{1}{(x+1)^{2}+3}\,dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right).
Juntando, obtemos
\int\frac{x+1}{x^{3}-8}\,dx=\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{8}\ln\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 7

Agora retorno ao integral do lado direito completo. Reunindo as partes:
\int \frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx=\int x^{2}\,dx+\frac{8}{3}\ln|x^{3}-8|+\int\frac{x+1}{x^{3}-8}\,dx.
Calculando \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3} e substituindo a expressão encontrada no Passo 6, obtemos (até uma constante de integração C)
\begin{aligned} \int \frac{x^{5}+x+1}{x^{3}-8}\,dx &=\frac{x^{3}}{3}+\frac{8}{3}\ln|x^{3}-8| \\\ &\quad{}+\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{8}\ln\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C. \end{aligned}

Passo 8

Igualando as integrais do Passo 3 (lado esquerdo) e do Passo 7 (lado direito) obtemos a solução implícita geral da EDO:
3\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}=\frac{x^{3}}{3}+\frac{8}{3}\ln|x^{3}-8|+\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{8}\ln\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C,
onde C é constante arbitrária de integração. Esta expressão pode ser deixada como solução implícita; isolar y explicitamente daria
\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}=\frac{1}{3}\Big(\text{lado direito}\Big),
e então y=\operatorname{sec}^{-1}\big(\cdots\big), o que normalmente não melhora a forma prática da solução.

Resposta

3\sqrt[3]{\operatorname{sec} y}=\frac{x^{3}}{3}+\frac{8}{3}\ln|x^{3}-8|+\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{8}\ln\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)+\frac{1}{4\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C

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