Se você gasta 3 reais com tinta para pintar uma esfera de raio R e 10 reais com o material que preenche o volume dessa esfera de raio R, qual seria o orçamento para gastos com tinta e material para uma esfera cujo o raio é 10 vezes maior?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: pintar uma esfera de raio 3 (isso é proporcional à área da esfera) e encher essa mesma esfera de raio (R) custa R custa R$ 3 (isso é proporcional à área da esfera) e encher essa mesma esfera de raio custa R$ 10 (isso é proporcional ao volume). Agora a gente quer saber quanto vai custar pintar e encher uma esfera cujo raio é .
Conteúdo da matéria: Geometria de esfera, escalonamento de área e volume. Vamos precisar das fórmulas
  • Área da esfera:
  • Volume da esfera:

Passo 2

Primeiro, a área da esfera.
Para raio Aorig = 4pi R^2 :
Anovo = 4pi(10R)^2 = 4pi cdot 100R^2 = 100 cdot (4pi R^2) = 100,Aorig
Para raio 3, pintar a esfera nova custa [ Ctinta, novo = 3 times 100 = R:
Ou seja, a área cresce por um fator de 100. Se pintar a esfera original custa R$ 3, pintar a esfera nova custa

Passo 3

Agora, o volume da esfera.
Para raio Vorig = tfrac43pi R^3 :
Vnovo = tfrac43pi(10R)^3 = tfrac43pi cdot 1000R^3 = 1000,Vorig
Para raio 10, encher a esfera nova custa [ Cmaterial, novo = 10 times 1000 = R:
O volume cresce por um fator de 1000. Se encher a esfera original custa R$ 10, encher a esfera nova custa

Passo 4

Agora é só somar os custos:
Ctotal = Ctinta, novo + Cmaterial, novo = 300 + 10000 = R$ 10 300

Resposta

O orçamento total para pintar e preencher a esfera de raio é R$ 10 300.

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