1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical
para a posição vertical
. Quando na posição
o bloco está se movendo para cima em velocidade
, e quando na posição
. ele está se movendo para cima em velocidade maior
.
d. Use uma equaçao cinemática para converter a aceleração a na equaçâo da parte b. em uma expressão envolvendo as velocidades do bloco
e
e seu deslocamento
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (pegando exatamente os símbolos usados):
- O bloco move-se verticalmente de
para . - Na posição inicial
sua velocidade para cima é . - Na posição final
sua velocidade para cima é . - Aparece uma aceleração
na equação da parte b. e a tarefa é substituir (converter) essa por uma expressão que envolva somente , e o deslocamento . - Observação importante (assunção necessária): para usar a equação cinemática abaixo é preciso assumir aceleração constante durante o deslocamento (ou que podemos aproximá‑la como constante). Se isso não valer, a substituição não é correta.
Passo 2
Apresentando a equação cinemática que vamos usar e por que ela vale:
- As equações básicas do movimento com aceleração constante são
e
onde
é o tempo do movimento e
é a aceleração (constante). Aqui:
-
é a velocidade inicial na posição , -
é a velocidade final na posição , -
é o deslocamento vertical. - A ideia é eliminar o tempo
entre essas duas equações para obter uma relação direta entre velocidades, aceleração e deslocamento.
Passo 3
Eliminando
e deduzindo a fórmula que queremos:
- Da primeira equação isolamos
:
- Substituímos esse
na equação do deslocamento:
- Simplificando passo a passo:
Multiplicando ambos os lados por
:
- Expandindo o lado direito:
- Portanto obtemos a forma clássica:
Passo 4
Isolando
e escrevendo a substituição pedida:
- Resolvendo a equação anterior para
dá
- Comentário prático sobre substituições comuns na parte b.:
- Se a equação da parte b. tinha um termo
, substituir por . - Se a equação da parte b. tinha o produto
, então esse produto vira
que é uma forma muito útil porque aparece diretamente ligada à variação de energia cinética (meio vezes isso dá a variação de energia cinética). - Se a equação da parte b. tinha um termo