1 - Para desenvolver expressões matemáticas para energia potencial gravitacional e energia cinética, analisamos a seguinte situação: um cabo levanta um bloco da posição vertical y_{i} para a posição vertical y_{f}. Quando na posição y_{i} o bloco está se movendo para cima em velocidade v_{y j}, e quando na posição y_{f}. ele está se movendo para cima em velocidade maior
v_{X^{\prime}}.
d. Use uma equaçao cinemática para converter a aceleração a na equaçâo da parte b. em uma expressão envolvendo as velocidades do bloco v_{\mathrm{i}} e v_{\mathrm{f}} e seu deslocamento y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (pegando exatamente os símbolos usados):
  • O bloco move-se verticalmente de y_{\mathrm{i}} para y_{\mathrm{f}}.
  • Na posição inicial y_{\mathrm{i}} sua velocidade para cima é v_{\mathrm{i}}.
  • Na posição final y_{\mathrm{f}} sua velocidade para cima é v_{\mathrm{f}}.
  • Aparece uma aceleração a na equação da parte b. e a tarefa é substituir (converter) essa a por uma expressão que envolva somente v_{\mathrm{i}}, v_{\mathrm{f}} e o deslocamento y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}.
  • Observação importante (assunção necessária): para usar a equação cinemática abaixo é preciso assumir aceleração constante durante o deslocamento (ou que podemos aproximá‑la como constante). Se isso não valer, a substituição não é correta.

Passo 2

Apresentando a equação cinemática que vamos usar e por que ela vale:
  • As equações básicas do movimento com aceleração constante são
v_{\mathrm{f}} = v_{\mathrm{i}} + a t
e
y_{\mathrm{f}} = y_{\mathrm{i}} + v_{\mathrm{i}} t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
onde t é o tempo do movimento e a é a aceleração (constante). Aqui:
  • v_{\mathrm{i}} é a velocidade inicial na posição y_{\mathrm{i}},
  • v_{\mathrm{f}} é a velocidade final na posição y_{\mathrm{f}},
  • y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}} é o deslocamento vertical.
  • A ideia é eliminar o tempo t entre essas duas equações para obter uma relação direta entre velocidades, aceleração e deslocamento.

Passo 3

Eliminando t e deduzindo a fórmula que queremos:
  • Da primeira equação isolamos t:
t=\frac{v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}}}{a}.
  • Substituímos esse t na equação do deslocamento:
y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}=v_{\mathrm{i}}\left(\frac{v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}}}{a}\right)+\tfrac{1}{2}a\left(\frac{v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}}}{a}\right)^{2}.
  • Simplificando passo a passo:
y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}=\frac{v_{\mathrm{i}}(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}})}{a}+\frac{(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}})^{2}}{2a}.
Multiplicando ambos os lados por 2a:
2a(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})=2v_{\mathrm{i}}(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}})+(v_{\mathrm{f}}-v_{\mathrm{i}})^{2}.
  • Expandindo o lado direito:
2v_{\mathrm{i}}v_{\mathrm{f}}-2v_{\mathrm{i}}^{2}+v_{\mathrm{f}}^{2}-2v_{\mathrm{i}}v_{\mathrm{f}}+v_{\mathrm{i}}^{2}=v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}.
  • Portanto obtemos a forma clássica:
v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}=2a(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}).

Passo 4

Isolando a e escrevendo a substituição pedida:
  • Resolvendo a equação anterior para a
a=\frac{v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}}{2\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})}.
  • Comentário prático sobre substituições comuns na parte b.:
    • Se a equação da parte b. tinha um termo a, substituir por \dfrac{v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}}{2\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})}.
    • Se a equação da parte b. tinha o produto a\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}}), então esse produto vira
    a\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})=\frac{v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}}{2},que é uma forma muito útil porque aparece diretamente ligada à variação de energia cinética (meio m vezes isso dá a variação de energia cinética).

Resposta

a=\frac{v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}}{2\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})}
a\,(y_{\mathrm{f}}-y_{\mathrm{i}})=\frac{v_{\mathrm{f}}^{2}-v_{\mathrm{i}}^{2}}{2}

Exercícios relacionados