QUESTÃO 1 ( 25 pontos) - Uma barra que não é homogênea tem o comprimento
e está sobre o eixo
do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na regiào positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é
e é dada por
, onde
é uma constante com dimensão apropriada para que
seja uma densidade linear.
NOTA:
a)(
pontos) Calcule a massa da barra em função da constante
e do comprimento
b)( 15 pontos) Calcule o vetor campo gravitacional da barra num ponto
do eixo
a)(
b)( 15 pontos) Calcule o vetor campo gravitacional da barra num ponto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
- A barra ocupa o segmento do eixo
de a . - A densidade linear é
, onde é constante apropriada. - O ponto onde queremos o campo gravitacional é
com . -
é a constante gravitacional universal (assumo conhecida).
Perguntas:
- (a) Calcular a massa da barra em função de
e . - (b) Calcular o vetor campo gravitacional da barra em um ponto
do eixo com .
Passo 2
Entendendo massa a partir de densidade linear (aula rápida):
- A densidade linear
é a massa por unidade de comprimento no ponto . Um pedaço infinitesimal de comprimento tem massa . - Para obter a massa total somamos (integrando) todos os
ao longo da barra, isto é
Agora aplicamos
:
Calcule a integral (regra básica:
):
Assim, a massa da barra é
.
Passo 3
Começando o cálculo do campo gravitacional (conceito usado):
- O campo gravitacional gerado por uma massa pontual
a uma distância é , onde o sinal negativo indica que o campo aponta para a massa (vetor dirigido ao longo de apontando para a massa). - Para uma distribuição contínua, somamos (integramos) as contribuições dos elementos
.
Para o nosso problema:
- Um elemento em
(com ) tem massa . - A distância do elemento até o ponto
é (positiva porque ). - A direção do campo é para a esquerda (em direção ao eixo negativo
), então o campo diferencial é
Passo 4
Montando a integral para o campo total:
Fatorando constantes:
Agora precisamos calcular a integral
Passo 5
Cálculo da integral
por substituição (passo a passo):
- Faça a substituição
. Então e . - Quando
temos . Quando temos . - A integral torna-se
Separe a fração:
Portanto
Passo 6
Integração explícita e avaliação dos limites:
- Integrais básicas usadas:
e . - Antiderivada de
é . - Avaliando entre
e :
Simplificando:
Agrupando termos logarítmicos e termo racional:
Observe que
. Assim
Passo 7
Voltando ao campo e escrevendo a resposta final:
- Lembrando que
, substituímos :
Interpretação rápida: o campo aponta no sentido negativo de
(por isso o sinal negativo), e o colchete é um valor positivo menos um log negativo, resultando num valor positivo multiplicando
.
Opcional (útil para a prova): usando
podemos escrever
e obter o campo em termos da massa total
se desejar.