QUESTÃO 1 ( 25 pontos) - Uma barra que não é homogênea tem o comprimento L e está sobre o eixo x do sistema de coordenadas. Uma ponta está na origem e a outra ponta se encontra na regiào positiva desse eixo. A densidade linear de massa da barra é \lambda(x) e é dada por \lambda=C x, onde C é uma constante com dimensão apropriada para que \lambda seja uma densidade linear.
NOTA:
a)( \mathbf{1 0} pontos) Calcule a massa da barra em função da constante C e do comprimento L
b)( 15 pontos) Calcule o vetor campo gravitacional da barra num ponto x_{0} do eixo x, \operatorname{com} x_{0}>L

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
  • A barra ocupa o segmento do eixo x de x=0 a x=L.
  • A densidade linear é \lambda(x)=C x, onde C é constante apropriada.
  • O ponto onde queremos o campo gravitacional é x_0 com x_0>L.
  • G é a constante gravitacional universal (assumo conhecida).
Perguntas:
  • (a) Calcular a massa da barra em função de C e L.
  • (b) Calcular o vetor campo gravitacional da barra em um ponto x_0 do eixo x com x_0>L.

Passo 2

Entendendo massa a partir de densidade linear (aula rápida):
  • A densidade linear \lambda(x) é a massa por unidade de comprimento no ponto x. Um pedaço infinitesimal de comprimento dx tem massa dm=\lambda(x)\,dx.
  • Para obter a massa total somamos (integrando) todos os dm ao longo da barra, isto é
m=\int_{0}^{L}\lambda(x)\,dx.
Agora aplicamos \lambda(x)=C x:
m=\int_{0}^{L} C x\,dx.
Calcule a integral (regra básica: \int x\,dx = x^2/2):
m=C\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{L}=\frac{C L^{2}}{2}.
Assim, a massa da barra é \displaystyle m=\frac{C L^{2}}{2}.

Passo 3

Começando o cálculo do campo gravitacional (conceito usado):
  • O campo gravitacional gerado por uma massa pontual m' a uma distância r é \displaystyle \vec{g}=-G\frac{m'}{r^{2}}\hat{r}, onde o sinal negativo indica que o campo aponta para a massa (vetor dirigido ao longo de \hat{r} apontando para a massa).
  • Para uma distribuição contínua, somamos (integramos) as contribuições dos elementos dm.
Para o nosso problema:
  • Um elemento em x (com 0\le x\le L) tem massa dm=\lambda(x)\,dx = C x\,dx.
  • A distância do elemento até o ponto x_0 é r=x_0-x (positiva porque x_0>L\ge x).
  • A direção do campo é para a esquerda (em direção ao eixo negativo x), então o campo diferencial é
d\vec{g} = -G\frac{dm}{(x_0-x)^2}\,\hat{\imath}.

Passo 4

Montando a integral para o campo total:
\vec{g}(x_0) = \int_{0}^{L} d\vec{g} = -G\int_{0}^{L} \frac{C x\,dx}{(x_0-x)^2}\,\hat{\imath}.
Fatorando constantes:
\vec{g}(x_0) = -G C \left(\int_{0}^{L} \frac{x}{(x_0-x)^2}\,dx\right)\hat{\imath}.
Agora precisamos calcular a integral
I=\int_{0}^{L} \frac{x}{(x_0-x)^2}\,dx.

Passo 5

Cálculo da integral I por substituição (passo a passo):
  • Faça a substituição t=x_0-x. Então x=x_0-t e dx=-dt.
  • Quando x=0 temos t=x_0. Quando x=L temos t=x_0-L.
  • A integral torna-se
I=\int_{t=x_0}^{t=x_0-L}\frac{x_0-t}{t^{2}}(-dt) =\int_{t=x_0-L}^{t=x_0}\frac{x_0-t}{t^{2}}\,dt.
Separe a fração:
\frac{x_0-t}{t^{2}}=\frac{x_0}{t^{2}}-\frac{1}{t}.
Portanto
I=\int_{x_0-L}^{x_0}\left(\frac{x_0}{t^{2}}-\frac{1}{t}\right)\,dt.

Passo 6

Integração explícita e avaliação dos limites:
  • Integrais básicas usadas: \int t^{-2}\,dt = -t^{-1} e \int t^{-1}\,dt = \ln t.
  • Antiderivada de \frac{x_0}{t^{2}}-\frac{1}{t} é -\frac{x_0}{t}-\ln t.
  • Avaliando entre t=x_0-L e t=x_0:
I=\left[-\frac{x_0}{t}-\ln t\right]_{t=x_0-L}^{t=x_0} =\left(-\frac{x_0}{x_0}-\ln x_0\right)-\left(-\frac{x_0}{x_0-L}-\ln(x_0-L)\right).
Simplificando:
I = -1-\ln x_0 +\frac{x_0}{x_0-L} + \ln(x_0-L).
Agrupando termos logarítmicos e termo racional:
I = \frac{x_0}{x_0-L}-1 + \ln\!\left(\frac{x_0-L}{x_0}\right).
Observe que \displaystyle \frac{x_0}{x_0-L}-1 = \frac{L}{x_0-L}. Assim
I = \frac{L}{x_0-L} + \ln\!\left(\frac{x_0-L}{x_0}\right).

Passo 7

Voltando ao campo e escrevendo a resposta final:
  • Lembrando que \vec{g}(x_0) = -G C\, I\,\hat{\imath}, substituímos I:
\vec{g}(x_0) = -G C \left[\,\frac{L}{x_0-L} + \ln\!\left(\frac{x_0-L}{x_0}\right)\right]\hat{\imath}.
Interpretação rápida: o campo aponta no sentido negativo de x (por isso o sinal negativo), e o colchete é um valor positivo menos um log negativo, resultando num valor positivo multiplicando -G C.
Opcional (útil para a prova): usando m=\dfrac{C L^{2}}{2} podemos escrever C=\dfrac{2m}{L^{2}} e obter o campo em termos da massa total m se desejar.

Resposta

m=\frac{C L^{2}}{2}
\vec{g}(x_0) = -G C \left[\frac{L}{x_0-L} + \ln\!\left(\frac{x_0-L}{x_0}\right)\right]\hat{\imath}

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