Determine a velocidade e aceleração da plataforma
em função do ângulo
do disco
se o disco gira com velocidade angular constante
em torno do ponto de apoio. A plataforma está restrita a se movimentar apenas na vertical por meio das barras sem atrito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente ache a velocidade e a aceleração da plataforma P em função do ângulo θ do disco C, sabendo que o disco gira com velocidade angular constante ω e que a plataforma só se move na vertical.
Matéria: Cinemática de partículas em uma dimensão usando derivadas (velocidade e aceleração).
O que vamos precisar:
Matéria: Cinemática de partículas em uma dimensão usando derivadas (velocidade e aceleração).
O que vamos precisar:
- Expressar a posição vertical y da plataforma em função de θ.
- Usar derivada (chain rule) para achar v = dy/dt.
- Derivar de novo pra achar a = dv/dt.
Passo 2
Primeiro, a geometria: a plataforma está presa ao disco numa distância r do centro, e só sobe/desce na vertical. Se o disco girar de ângulo θ, a posição vertical y da plataforma em relação à base é
Isso vem do fato de que a projeção vertical de um raio r faz exatamente um seno do ângulo.
Passo 3
Agora achamos a velocidade v = dy/dt. Como θ varia no tempo, usamos a regra da cadeia:
Mas como o disco gira com velocidade angular constante ω, a gente tem
Logo
Passo 4
Vamos para a aceleração: a = dv/dt. De novo a regra da cadeia:
Aqui ω e r são constantes, então
E como
, temos
Resposta
Velocidade:
Aceleração: