2- Você mediu o diâmetro de uma esfera metálica com um paquímetro e obteve o valor de 15 mm . A resolução do paquímetro é 0,05 \mathrm{~mm}. Calcule o volume e a respectiva incerteza. NESTA QUESTÃO VOCÊS PODEM DEIXAR OS VALORES INDICADOS

Passo 1

O enunciado dá duas informações e pede o volume da esfera e a incerteza associada:
  • Diâmetro medido: d = 15\\ \mathrm{mm}.
  • Resolução do paquímetro (menor divisão): \Delta = 0,05\\ \mathrm{mm}.
O que é pedido:
  • Calcular o volume da esfera V.
  • Calcular a incerteza padrão associada a V, que vou chamar de u(V).

Passo 2

Fórmula do volume de uma esfera e identificação das variáveis.
  • A fórmula conhecida é
V=\frac{4}{3}\pi r^{3},
onde r é o raio da esfera. Aqui o que se mede é o diâmetro d, e a relação entre raio e diâmetro é
r=\frac{d}{2}.
Substituindo r=\dfrac{d}{2} em V obtemos uma fórmula em função do diâmetro:
V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{3}.

Passo 3

Simplificar a expressão de V em função de d.
Calculo passo a passo:
\left(\frac{d}{2}\right)^{3}=\frac{d^{3}}{2^{3}}=\frac{d^{3}}{8}.
Então
V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{d^{3}}{8}=\frac{\pi}{6}\,d^{3}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
V=\frac{\pi}{6}\,d^{3}.

Passo 4

Tratamento da incerteza do diâmetro d dada a resolução do instrumento.
  • Quando a leitura é feita com um instrumento que tem resolução \Delta, a incerteza da leitura pode ser modelada por uma distribuição uniforme no intervalo de amplitude \Delta (isto ocorre quando a leitura foi arredondada para o menor divisor). Para uma distribuição uniforme de largura w a incerteza padrão (desvio padrão) é w/\sqrt{12}.
  • Aqui a largura completa é w=\Delta=0,05\\ \mathrm{mm}. Logo a incerteza padrão do diâmetro é
u(d)=\frac{\Delta}{\sqrt{12}}=\frac{0,05}{\sqrt{12}}\\ \mathrm{mm}.
Calculemos numericamente:
\sqrt{12}\approx 3,4641016, \qquad u(d)=\frac{0,05}{3,4641016}\approx 0,0144338\\ \mathrm{mm}.
Observação rápida (para não confundir): algumas pessoas usam metade da divisão como erro máximo ( \pm 0,025\\ \mathrm{mm}) e então transformam isso em incerteza padrão dividindo por \sqrt{3}; o resultado numérico é o mesmo que 0,05/\sqrt{12}. Escolhi a modelagem por distribuição uniforme porque é a prática padrão para incertezas tipo B por resolução do instrumento.

Passo 5

Como propagar a incerteza de d para V.
  • Conceito: se V é uma função de d, a incerteza padrão de V pode ser aproximada pela derivada (aproximação linear):
u(V)=\left|\frac{dV}{dd}\right|\,u(d).
  • Outra forma, mais direta quando V é proporcional a uma potência de d: se V\propto d^{n} então a incerteza relativa satisfaz
\frac{u(V)}{V}=|n|\frac{u(d)}{d}.
No nosso caso V=(\pi/6)d^{3}, portanto n=3 e as duas formas são equivalentes. Vou usar a forma relativa porque é curta e intuitiva:
\frac{u(V)}{V}=3\frac{u(d)}{d}.

Passo 6

Cálculos numéricos: primeiro o volume, depois a incerteza.
  • Volume com d=15\\ \mathrm{mm}:
V=\frac{\pi}{6}\,d^{3}=\frac{\pi}{6}\cdot 15^{3}=\frac{\pi}{6}\cdot 3375=562{,}5\,\pi.
Em valor numérico,
V=562{,}5\;\pi\approx 1766{,}25\\ \mathrm{mm}^{3}.
  • Incerteza relativa:
\frac{u(d)}{d}=\frac{0,0144338}{15}\approx 0,00096225.
Multiplicando por 3:
\frac{u(V)}{V}=3\cdot 0,00096225\approx 0,00288675.
  • Finalmente a incerteza absoluta de V:
u(V)=V\cdot 0,00288675 \approx 1766{,}25\cdot 0,00288675 \approx 5{,}10\\ \mathrm{mm}^{3}.
(Alternativa pela derivada: \dfrac{dV}{dd}=\dfrac{\pi}{2}d^{2}. Avaliando em d=15 e multiplicando por u(d) dá o mesmo resultado numérico.)

Passo 7

Arredondamento e apresentação final.
  • Regra prática: expressar a incerteza com uma ou duas cifras significativas e truncar/arrodear o valor medido na mesma ordem de grandeza (mesma casa decimal).
  • Aqui u(V)\approx 5{,}10\\ \mathrm{mm}^{3}. Tomando duas cifras significativas fica 5{,}1\\ \mathrm{mm}^{3}. Então arredondo V para a mesma casa decimal: V\approx 1766{,}3\\ \mathrm{mm}^{3}.
Força aí — já era! Você tem o volume e a incerteza prontos para colocar na folha da prova.

Resposta

\;V=1766{,}3\pm 5{,}1\\ \mathrm{mm}^{3}

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