Um projétil de massa m=0,04 \mathrm{~kg} é disparado horizontalmente com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e incrusta-se (colisão totalmente inelástica) num bloco de madeira de massa M=0,96 \mathrm{~kg} inicialmente em repouso na extremidade de uma mesa horizontal sem atrito. O bloco está apoiado contra uma mola ideal de constante elástica k=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m} inicialmente relaxada. Qual será a compressão máxima sofrida pela mola após o impacto?
a) 0,10 \mathrm{~m}
b) 0,20 \mathrm{~m}
c) 0,30 \mathrm{~m}
d) 0,40 \mathrm{~m}
e) 0,50 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a compressão máxima da mola após o impacto:
  • Massa do projétil: m=0{,}04\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do projétil (horizontal): v_0=100\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do bloco em repouso: M=0{,}96\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola (inicialmente relaxada): k=400\\ \mathrm{N/m}.
  • O projétil se incrusta no bloco (colisão totalmente inelástica) e a mesa é sem atrito.
O que o problema pergunta: qual a compressão máxima x_{\max} sofrida pela mola depois do impacto?

Passo 2

Entender o que acontece em duas etapas físicas separadas (isso é importante para a prova):
  1. No instante do impacto (colisão totalmente inelástica) ocorre troca de quantidade de movimento; como não há forças externas horizontais significativas durante o choque, a quantidade de movimento é conservada. A energia cinética NÃO é conservada nessa colisão porque ela é inelástica (parte vira calor, deformação, etc.).
  2. Depois do choque, o conjunto (massa total m+M) move-se sobre a mesa sem atrito e a energia mecânica (cinética + energia elástica) é conservada enquanto a mola é comprimida até a máxima compressão, quando a velocidade momentaneamente é zero.
Vamos aplicar essas ideias matematicamente.

Passo 3

Conservação da quantidade de movimento na colisão inelástica:
(m+M)\,v' = m\,v_0,
onde v' é a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto. Isolando v':
v'=\dfrac{m\,v_0}{m+M}.
Expliquei: (m+M) é a massa total depois que o projétil ficou preso no bloco; multiplicando por v' obtemos a quantidade de movimento final, que deve igualar à quantidade de movimento inicial m v_0.

Passo 4

Energia cinética do conjunto imediatamente após o choque será convertida em energia potencial elástica da mola na máxima compressão. Igualamos energia cinética inicial do conjunto à energia elástica final:
\frac{1}{2}(m+M){v'}^{2}=\frac{1}{2}k x_{\max}^{2}.
Isolando x_{\max}:
x_{\max} = v'\sqrt{\dfrac{m+M}{k}}.
Agora substituímos v' da expressão do passo anterior. Substituindo v'=\dfrac{m v_0}{m+M} obtemos (faça essa álgebra devagar na prova):
x_{\max}=\dfrac{m v_0}{m+M}\sqrt{\dfrac{m+M}{k}} =\dfrac{m v_0}{\sqrt{k(m+M)}}.
Expliquei: ao simplificar, um fator \sqrt{m+M} permanece no denominador, por isso a forma final tem \sqrt{k(m+M)}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente, usando os números do enunciado. Primeiro note que
m+M=0{,}04+0{,}96=1{,}00\\ \mathrm{kg}.
Logo
\sqrt{k(m+M)}=\sqrt{400\cdot 1{,}00}=\sqrt{400}=20\\ \mathrm{(kg^{1/2}\,m^{-1/2}\,s^{-1})}.
Substituindo na fórmula encontrada:
x_{\max}=\dfrac{m v_0}{\sqrt{k(m+M)}}=\dfrac{0{,}04\cdot 100}{20}.
Calcule passo a passo: 0{,}04\cdot 100=4. Então
x_{\max}=\dfrac{4}{20}=0{,}20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida de unidades e sentido físico:
  • Unidade: numerator (\mathrm{kg\cdot m/s}) dividido por \sqrt{\mathrm{N\cdot kg}}=\sqrt{\mathrm{kg\cdot m/s^2\cdot kg}}=\mathrm{kg\cdot m/s} dá metro, consistente.
  • Sentido físico: compressão de 0{,}20\\ \mathrm{m} é razoável para os dados. Lembre-se: energia foi dissipada no choque, por isso a compressão é menor do que se a colisão fosse elástica perfeita.

Resposta

0{,}20\\ \mathrm{m}

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