Um projétil de massa
é disparado horizontalmente com velocidade de
e incrusta-se (colisão totalmente inelástica) num bloco de madeira de massa
inicialmente em repouso na extremidade de uma mesa horizontal sem atrito. O bloco está apoiado contra uma mola ideal de constante elástica
inicialmente relaxada. Qual será a compressão máxima sofrida pela mola após o impacto?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a compressão máxima da mola após o impacto:
- Massa do projétil:
. - Velocidade inicial do projétil (horizontal):
. - Massa do bloco em repouso:
. - Constante elástica da mola (inicialmente relaxada):
. - O projétil se incrusta no bloco (colisão totalmente inelástica) e a mesa é sem atrito.
O que o problema pergunta: qual a compressão máxima
sofrida pela mola depois do impacto?
Passo 2
Entender o que acontece em duas etapas físicas separadas (isso é importante para a prova):
- No instante do impacto (colisão totalmente inelástica) ocorre troca de quantidade de movimento; como não há forças externas horizontais significativas durante o choque, a quantidade de movimento é conservada. A energia cinética NÃO é conservada nessa colisão porque ela é inelástica (parte vira calor, deformação, etc.).
- Depois do choque, o conjunto (massa total
) move-se sobre a mesa sem atrito e a energia mecânica (cinética + energia elástica) é conservada enquanto a mola é comprimida até a máxima compressão, quando a velocidade momentaneamente é zero.
Vamos aplicar essas ideias matematicamente.
Passo 3
Conservação da quantidade de movimento na colisão inelástica:
onde
é a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto. Isolando
:
Expliquei:
é a massa total depois que o projétil ficou preso no bloco; multiplicando por
obtemos a quantidade de movimento final, que deve igualar à quantidade de movimento inicial
.
Passo 4
Energia cinética do conjunto imediatamente após o choque será convertida em energia potencial elástica da mola na máxima compressão. Igualamos energia cinética inicial do conjunto à energia elástica final:
Isolando
:
Agora substituímos
da expressão do passo anterior. Substituindo
obtemos (faça essa álgebra devagar na prova):
Expliquei: ao simplificar, um fator
permanece no denominador, por isso a forma final tem
.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente, usando os números do enunciado. Primeiro note que
Logo
Substituindo na fórmula encontrada:
Calcule passo a passo:
. Então
Passo 6
Verificação rápida de unidades e sentido físico:
- Unidade: numerator
dividido por dá metro, consistente. - Sentido físico: compressão de
é razoável para os dados. Lembre-se: energia foi dissipada no choque, por isso a compressão é menor do que se a colisão fosse elástica perfeita.