Você, nobre discente, pesquisou como encontrar o volume de água (ou combustível) em um caminhāo tanque de formato cilíndrico horizontal). Notou que o volume é o produto de L (comprimento do tanque) por A(h) - que representa a área em função da altura h liquido:
A(h)=p i^{*} r^{2} / 2-r^{2 *} \operatorname{arcsen}[(r-h) / h]+(r-h)^{*} \operatorname{sqrt}\left(2^{*} r^{*} h-h^{2}\right)
Aplicaçāo: Qual o volume (em funçāo de r) no caso particular de L=4-r e h=r/2?
Apoio: \operatorname{arcsen}(0)=0 ; \operatorname{arcsen}(1 / 2)=p i / 6 e \operatorname{arcsen}(1)=p i / 2
◯ A). \operatorname{sqrt}(3)^{*} r^{3}
◯ B) . \operatorname{sqrt}(3)^{*} r^{3} / 2
◯ C). \operatorname{sqrt}(3 / 2)^{*} r^{3}
◯ D). \operatorname{sqrt}(2)^{*} r^{3}
◯ E) $. \operatorname{sqrt}(2)^{*} r^{3} / 3

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado (copiando/interpretando o que foi escrito):
  • Pedido: calcular o volume do líquido no tanque cilíndrico horizontal, ou seja V=L\cdot A(h), no caso particular em que L=4-r (texto original) e h=r/2.
  • Foi fornecida a expressão (com muitos símbolos trocados no enunciado original); mantendo a notação tal qual foi escrita:
A(h)=\pi^{*} r^{2} /2 - r^{2*}\operatorname{arcsen}\bigl[(r-h)/h\bigr] + (r-h)^{*}\operatorname{sqrt}\bigl(2^{*} r^{*} h - h^{2}\bigr).
  • Apoio fornecido: \operatorname{arcsen}(0)=0, \operatorname{arcsen}(1/2)=\pi/6 e \operatorname{arcsen}(1)=\pi/2.
  • Observação importante (apenas levantando o problema, sem pedir nada): o enunciado tem símbolos confusos (asteriscos, posicionamento de h ou r no denominador do argumento de \operatorname{arcsen}, e o L=4-r que pode ser ambíguo). A resolução a seguir escolhe interpretações coerentes com a fórmula escrita e com as opções dadas; todo passo é mostrado.

Passo 2

Interpretação prática da fórmula escrita e avaliação em h=r/2.
  1. Vou usar literalmente o argumento de \operatorname{arcsen} tal como apareceu no enunciado: \operatorname{arcsen}\bigl((r-h)/h\bigr). (Isto torna o argumento adimensional no caso dado h=r/2, porque (r-h)/h fica igual a 1.)
  2. Substituo h=r/2 nas partes que aparecerão:
  • Calcular (r-h):
r-h = r - \frac{r}{2} = \frac{r}{2}.
  • Calcular 2 r h - h^{2}:
2rh - h^{2} = 2r\cdot\frac{r}{2} - \left(\frac{r}{2}\right)^{2} = r^{2} - \frac{r^{2}}{4} = \frac{3r^{2}}{4}.
  • Portanto
\sqrt{2rh - h^{2}} = \sqrt{\frac{3r^{2}}{4}} = \frac{r\sqrt{3}}{2}.
  1. Agora avalio o termo de \operatorname{arcsen}. Com h=r/2,
\frac{r-h}{h} = \frac{r - r/2}{r/2} = \frac{r/2}{r/2} = 1,
logo, usando o apoio dado,
\operatorname{arcsen}\bigl((r-h)/h\bigr)=\operatorname{arcsen}(1)=\frac{\pi}{2}.
  1. Substituo tudo em A(h) (mantendo a escrita original de sinais):
A\Bigl(\frac{r}{2}\Bigr)=\frac{\pi r^{2}}{2} - r^{2}\cdot\frac{\pi}{2} + \biggl(\frac{r}{2}\biggr)\cdot\frac{r\sqrt{3}}{2}.
As duas primeiras parcelas se cancelam:
\frac{\pi r^{2}}{2} - r^{2}\cdot\frac{\pi}{2} = 0.
Portanto sobra apenas a última parcela:
A\Bigl(\frac{r}{2}\Bigr)=\frac{r}{2}\cdot\frac{r\sqrt{3}}{2}=\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.

Passo 3

Cálculo do volume V=L\cdot A(h) e escolha coerente de L.
  1. Aplicando A(r/2)=\dfrac{r^{2}\sqrt{3}}{4}, obtemos
V = L\cdot \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4}.
  1. Agora uma questão prática: o enunciado escreveu L=4-r. Se usássemos literalmente L=4-r obteríamos
V=(4-r)\cdot\frac{r^{2}\sqrt{3}}{4},
que não é da forma pura C\cdot r^{3} (tem termo em 4\cdot r^{2} e em -r^{3}) e portanto não coincide com nenhuma das alternativas simples que só apresentam constantes multiplicando r^{3}. Uma interpretação muito mais plausível do enunciado (e que faz sentido em exercícios típicos) é que houve falta do símbolo de multiplicação entre 4 e r, ou seja L=4r. Essa escolha torna o enunciado consistente com as alternativas (todas em múltiplos de r^{3}).
  1. Adotando L=4r, temos
V = 4r \cdot \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4} = r^{3}\sqrt{3}.

Passo 4

Conclusão e associação com as alternativas: o volume, na interpretação coerente com o texto (mantendo o argumento (r-h)/h como escrito e assumindo que L=4r por omissão do sinal de multiplicação), é
V = \sqrt{3}\, r^{3},
que corresponde à alternativa A.

Resposta

A) \sqrt{3}\, r^{3}

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