Uma outra aproximaçāo para o cálculo de integrais em um dado intervalo [a, b] pode ser o método de Simpson (que você, nobre discente, estudou para fazer uma questāo de seu trabalho!). Tal método consiste em aproximar o valor de uma integral definida substituindo a funçāo por parábolas em intervalos menores. Para resolver a integral de 0 até 1 da funçāo \exp \left(-\mathrm{x}^{2}\right), com \mathrm{n}=2, sabemos que:
Integral de a até b de f(x) será (h / 3)^{*}[f(a)+4 f(m)+f(b)]
Sendo \mathrm{h}=(\mathrm{b}-\mathrm{a}) / 2 \mathrm{e}^{\prime \prime} \mathrm{m} " o ponto médio do intervalo [\mathrm{a}, \mathrm{b}].
Desta, para este caso, a integral fica (em funçāo do número de Euler):
◯ A) (1 / 6)^{*}\left[1+4^{*} \exp (-0,5)+\exp (-1)\right]
◯ B) (1 / 3)^{*}\left[1+4^{*} \exp (-0,5)+\exp (-1)\right]
◯ C) (1 / 3)^{*}\left[1+4^{*} \exp (-0,25)+\exp (-1)\right]
◯ D) (1 / 6)^{*}\left[1+4^{*} \exp (-0,25)+\exp (-1)\right]
◯ E) (1 / 6)^{*}[1+\exp (-0,5)+\exp (-1)]

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx
usando o método de Simpson com n=2. O enunciado fornece a fórmula (para uma aplicação de Simpson no intervalo [a,b], com duas subintervalos unindo em uma parábola):
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(a)+4f(m)+f(b)\bigr],
onde h=(b-a)/2 e m é o ponto médio de [a,b].
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é f(x)=e^{-x^{2}}.
  • Intervalo: a=0, b=1.
  • Regra de Simpson (uma aplicação, n=2) com h=(b-a)/2 e m ponto médio.
    A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) corresponde à aproximação de Simpson para esta integral?

Passo 2

Breve explicação didática do método usado (Simpson):
  • A regra de Simpson aproxima f(x) por uma parábola que passa por três pontos igualmente espaçados: x=a, x=m (médio) e x=b.
  • Na forma apresentada, h é a “meia-largura” do intervalo, isto é, metade do comprimento total: h=(b-a)/2. Isso porque os três pontos ficam em a, a+h e a+2h=b.
  • A fórmula \dfrac{h}{3}[f(a)+4f(m)+f(b)] vem da integração exata da parábola interpoladora; os coeficientes 1,4,1 surgem dessa integração e são padrão na regra de Simpson.
  • Aqui cada símbolo significa:
    • a e b: limites do intervalo de integração.
    • h: (b-a)/2, distancia entre a e o ponto médio m.
    • m: ponto médio de [a,b], isto é m=(a+b)/2.
    • f(\cdot): a função a ser integrada, aqui f(x)=e^{-x^{2}}.

Passo 3

Calcular h e m para a=0 e b=1:
h=\frac{b-a}{2}=\frac{1-0}{2}=\frac{1}{2}=0,5.
m=\frac{a+b}{2}=\frac{0+1}{2}=0,5.

Passo 4

Avaliar a função nos pontos a, m e b. Lembrar que f(x)=e^{-x^{2}}.
  • Em x=a=0:
f(0)=e^{-0^{2}}=e^{0}=1.
  • Em x=m=0,5: atenção ao quadrado — (0,5)^{2}=0,25. Logo
f(0,5)=e^{-(0,5)^{2}}=e^{-0,25}.
  • Em x=b=1:
f(1)=e^{-1}.

Passo 5

Substituir esses valores na fórmula de Simpson:
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl[f(0)+4f(0,5)+f(1)\bigr].
Como h=0,5, temos
\frac{h}{3}=\frac{0,5}{3}=\frac{1}{6}.
Portanto a aproximação fica
\frac{1}{6}\bigl[\,1 + 4e^{-0,25} + e^{-1}\,\bigr].
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa D.

Resposta

D) \dfrac{1}{6}\bigl[1+4e^{-0,25}+e^{-1}\bigr]

Exercícios relacionados