Uma outra aproximaçāo para o cálculo de integrais em um dado intervalo [a, b] pode ser o método de Simpson (que você, nobre discente, estudou para fazer uma questāo de seu trabalho!). Tal método consiste em aproximar o valor de uma integral definida substituindo a funçāo por parábolas em intervalos menores. Para resolver a integral de 0 até 1 da funçāo
, com
, sabemos que:
Integral de
até
de
será
Sendo
" o ponto médio do intervalo
.
Desta, para este caso, a integral fica (em funçāo do número de Euler):
◯ A)
◯ B)
◯ C)
◯ D)
◯ E)
Desta, para este caso, a integral fica (em funçāo do número de Euler):
◯ A)
◯ B)
◯ C)
◯ D)
◯ E)
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
usando o método de Simpson com
. O enunciado fornece a fórmula (para uma aplicação de Simpson no intervalo
, com duas subintervalos unindo em uma parábola):
onde
e
é o ponto médio de
.
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Intervalo:
, . - Regra de Simpson (uma aplicação,
) com e ponto médio.
A pergunta é: qual das alternativas (A) a (E) corresponde à aproximação de Simpson para esta integral?
Passo 2
Breve explicação didática do método usado (Simpson):
- A regra de Simpson aproxima
por uma parábola que passa por três pontos igualmente espaçados: , (médio) e . - Na forma apresentada,
é a “meia-largura” do intervalo, isto é, metade do comprimento total: . Isso porque os três pontos ficam em , e . - A fórmula
vem da integração exata da parábola interpoladora; os coeficientes surgem dessa integração e são padrão na regra de Simpson. - Aqui cada símbolo significa:
-
e : limites do intervalo de integração. -
: , distancia entre e o ponto médio . -
: ponto médio de , isto é . -
: a função a ser integrada, aqui .
-
Passo 3
Calcular
e
para
e
:
Passo 4
Avaliar a função nos pontos
,
e
. Lembrar que
.
- Em
:
- Em
: atenção ao quadrado — . Logo
- Em
:
Passo 5
Substituir esses valores na fórmula de Simpson:
Como
, temos
Portanto a aproximação fica
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa D.
Resposta
D)