Calcule a integral \int_{C} y \sin z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações \mathrm{x}=\cos \mathrm{t}, \mathrm{y}=\sin \mathrm{t}, \mathrm{z}=\mathrm{t}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi.
\left(\mathrm{I}=\pi \sqrt{2} \mathrm{~m}^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral de linha escalar
\int_{C} y\sin z\,ds.
  • A curva C é dada pela hélice circular parametrizada por t:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad z(t)=t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
  • Informações úteis dadas: as expressões de x(t),y(t),z(t) e o intervalo de t.
    Nada mais é necessário do enunciado.

Passo 2

O que significa integrar uma função em uma curva com respeito ao comprimento de arco:
  • Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), a\le t\le b, a integral escalar de uma função f(x,y,z) ao longo da curva com respeito a ds é
\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_a^b f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt.
  • Aqui \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade e \big|\mathbf{r}'(t)\big| é a velocidade escalar, que multiplica dt para dar o elemento de comprimento ds.
  • Logo, para nosso caso devemos parametrizar a função y\sin z e multiplicar por \big|\mathbf{r}'(t)\big| e integrar de 0 a 2\pi.

Passo 3

Parametrizar a curva e calcular \mathbf{r}'(t):
  • A parametrização é
\mathbf{r}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;t\big).
  • Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big(-\sin t,\;\cos t,\;1\big).

Passo 4

Calcular o comprimento do vetor velocidade \big|\mathbf{r}'(t)\big|:
  • A norma é
\big|\mathbf{r}'(t)\big|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t+1}.
  • Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1 obtemos
\big|\mathbf{r}'(t)\big|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Observação: é constante ao longo da hélice, o que simplifica bastante a integral.

Passo 5

Substituir na fórmula da integral e simplificar o integrando:
  • A função a integrar é f(x,y,z)=y\sin z. Em termos de t:
y(t)\sin z(t)=\sin t\cdot\sin t=\sin^2 t.
  • Portanto a integral parametrizada fica
\int_C y\sin z\,ds=\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\;\big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt =\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\;\sqrt{2}\,dt =\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral de \sin^2 t no intervalo [0,2\pi]:
  • Usar a identidade de meio-ângulo
\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
  • Então
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt=\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dt-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos 2t\,dt.
  • O primeiro termo vale
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,dt=\frac{1}{2}\cdot(2\pi)=\pi.
  • O segundo termo é zero porque \cos 2t tem média zero em um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos 2t\,dt=0.
  • Logo
\int_{0}^{2\pi}\sin^2 t\,dt=\pi.

Passo 7

Combinar os resultados para obter o valor final:
  • Voltando à expressão com o fator \sqrt{2}:
\int_C y\sin z\,ds=\sqrt{2}\cdot\pi=\pi\sqrt{2}.
  • Se for necessário incluir unidades conforme enunciado, escreva \pi\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^2.

Resposta

\pi\sqrt{2}\\ \mathrm{m}^2

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