Você está participando em um campeonato regional de estilingue. Através do lançamento de uma esfera de aço de diâmetro 10 mm e massa de 4,1 \mathrm{~g}, conseguiu-se a velocidade de lançamento de 65 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A altura de lançamento é de 1,4 \mathrm{~m}. Determine:
a) Qual a distância máxima que a esfera é lançada?
b) Qual a altura máxima da esfera?
c) Porém no campeonato, pretende-se acertar um alvo a 215 m de distância. Para isso é necessário que o lançamento seja a 16^{\circ} com a horizontal. Qual deve ser a altura do alvo?

Passo 1

O enunciado descreve o lançamento de um projétil (esfera) com velocidade inicial v_0 = 65,m/s e altura de lançamento H_0 = 1{,}4,m. Vamos usar o modelo de movimento de projétil sem resistência do ar, cujas equações paramétricas são
x(t) = v_0\cos\theta\;t,
y(t) = H_0 + v_0\sin\theta\;t - \tfrac12\,g\,t^2,
com g = 9{,}8,m/ s^{2}.
a) Para achar a distância máxima horizontal R_{\max}, precisamos maximizar o alcance em função do ângulo \theta. Em mecânica de projéteis, quando H_0 é pequeno comparado a v_0^2/(2g), adota-se \theta=45^\circ para aproximar o máximo.
b) A altura máxima H_{\max} ocorre no ápice, onde a velocidade vertical anula, e vale
H_{\max} = H_0 + \frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}.
c) Para um ângulo fixo \theta=16^\circ e alvo a x=215,m, achamos o tempo t = x/(v_0\cos\theta) e depois a altura y(t).

Passo 2

Adotando \theta=45^\circ, calculemos o tempo de voo até o projétil voltar ao solo y=0:
t = \frac{v_0\sin45^\circ + \sqrt{(v_0\sin45^\circ)^2 + 2g\,H_0}}{g}.
Aqui \sin45^\circ=\cos45^\circ=1/\sqrt2, logo v_0\sin45^\circ = 65/\sqrt2\approx 45{,}96,m/s.

Passo 3

Compute t:
t = \frac{45{,}96 + \sqrt{(45{,}96)^2 + 2\cdot9{,}8\cdot1{,}4}}{9{,}8} = \frac{45{,}96 + \sqrt{2111{,}4 + 27{,}44}}{9{,}8} = \frac{45{,}96 + 46{,}26}{9{,}8} = \frac{92{,}22}{9{,}8} \approx 9{,}41\\ \text{s}.
O alcance máximo é
R_{\max} = v_0\cos45^\circ\;t = \frac{65}{\sqrt2}\times9{,}41 \approx 45{,}96\times9{,}41 \approx 432{,}6\\ \text{m}.

Passo 4

Agora a altura máxima para \theta=45^\circ:
H_{\max} = H_0 + \frac{(v_0\sin45^\circ)^2}{2g} = 1{,}4 + \frac{(45{,}96)^2}{2\cdot9{,}8} = 1{,}4 + \frac{2111{,}4}{19{,}6} \approx 1{,}4 + 107{,}7 \approx 109{,}1\\ \text{m}.

Passo 5

Para \theta=16^\circ e x=215,m, primeiro
t = \frac{215}{v_0\cos16^\circ} = \frac{215}{65\cdot\cos16^\circ} \approx \frac{215}{65\cdot0{,}959} \approx 3{,}45\\ \text{s}.
Em seguida,
y(t) = H_0 + v_0\sin16^\circ\,t - \tfrac12 g t^2 = 1{,}4 + 65\cdot\sin16^\circ\cdot3{,}45 - 4{,}9\cdot(3{,}45)^2.
Como \sin16^\circ\approx0{,}276, temos
y(t)\approx 1{,}4 + 65\cdot0{,}276\cdot3{,}45 - 4{,}9\cdot11{,}90 \approx 1{,}4 + 61{,}9 - 58{,}3 \approx 4{,}99\\ \text{m}.

Resposta

a) R_{\max}\approx 432{,}6,m
b) H_{\max}\approx 109{,}1,m
c) Altura do alvo \approx 5{,}0,m acima do solo.

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