Uma bola é lançada e sua posição é dada por \overrightarrow{\mathrm{r}}=[1,5 \mathrm{~m}+(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \mathrm{t}] \hat{\mathrm{i}}+[(16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+ \left.\left(4,9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \mathrm{t}^{2}\right] \hat{\jmath}. Encontre a velocidade e aceleração como funções do tempo. Tipler 6^{\text {th }} ed, Cap-2, Exemplo 3-3. Resp. (a) \vec{v}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{\imath}+\left[16 \mathrm{~m} / \mathrm{s}-\left(9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) t\right] \hat{\jmath}; (b) -\left(9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da bola como função do tempo:
\vec r(t) = [1,5\,\text{m} + (12\,\text{m/s})\,t]\,\hat\imath + [(16\,\text{m/s})\,t - (4,9\,\text{m/s}^2)\,t^2]\,\hat\jmath.
Queremos calcular a velocidade \vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} e a aceleração \vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}.

Passo 2

Diferenciando componente a componente para obter \vec v(t):
– Na direção \hat\imath: \frac{d}{dt}[1,5 + 12\,t] = 12.
– Na direção \hat\jmath: \frac{d}{dt}[16\,t - 4,9\,t^2] = 16 - 9,8\,t.
Logo,
\vec v(t) = (12\,\text{m/s})\,\hat\imath + \bigl[\,16\,\text{m/s} - (9,8\,\text{m/s}^2)\,t\bigr]\hat\jmath

Passo 3

Diferenciando \vec v(t) para obter \vec a(t):
– Na direção \hat\imath: \frac{d}{dt}(12)=0.
– Na direção \hat\jmath: \frac{d}{dt}[16 - 9,8\,t] = -9,8.
Portanto,
\vec a(t) = 0\,\hat\imath - (9,8\,\text{m/s}^2)\,\hat\jmath = -\,(9,8\,\text{m/s}^2)\,\hat\jmath

Resposta

(a) \vec v(t)=12\,\hat\imath+\bigl(16-9,8\,t\bigr)\hat\jmath.
(b) \vec a(t)=-9,8\,\hat\jmath.

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