Um belo final de semana, você ajuda em casa consertando o telhado que sofreu alguns danos devido à chuva forte do dia anterior. Porém enquanto faz o conserto, o seu martelo acidentalmente escorrega pelo telhado com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O telhado em questão faz um ângulo de 30^{\circ} com a horizontal e a parte mais baixa dele está a 12 metros do chão. Ignorando a resistência do ar, determine:
a) Qual o tempo gasto até atingir o chão, que o martelo demorou após sair do telhado?
b) Qual o alcance horizontal percorrido pelo martelo, desde que saiu do telhado.
c) Se uma pessoa de 1,70 \mathrm{~m} estiver a 3 metros da beirada do telhado no chão, ela sofrerá algum dano do martelo? Explique.

Passo 1

O martelo escorrega com velocidade constante de 5\\ \mathrm{m/s} ao longo de um telhado inclinado de 30^\circ acima da horizontal, chegando à beirada a uma altura de 12\\ \mathrm{m} do solo. Ao sair do telhado, ele passa a se comportar como um projétil em queda livre, com componente horizontal de velocidade constante e componente vertical sujeita à aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Para resolver, vamos:
– decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical;
– usar a equação horária vertical para achar o tempo até o solo;
– usar a componente horizontal para calcular o alcance;
– verificar a altura do martelo sobre uma pessoa posicionada 3\\ \mathrm{m} além da beirada.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial v_0=5\\ \mathrm{m/s} na direção do telhado (ângulo -30^\circ em relação à horizontal):
v_{0x} = v_0\cos(30^\circ) = 5\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{5\sqrt3}{2}\approx4{,}33\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = -\,v_0\sin(30^\circ) = -\,5\cdot\frac12 = -2{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para encontrar o tempo t até o martelo atingir o solo a partir da altura inicial y_0=12\\ \mathrm{m}, usamos a equação
y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac12\,g\,t^2 = 0.
Isto é,
-4{,}9\,t^2 - 2{,}5\,t + 12 = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
t = \frac{-(-2{,}5)\pm\sqrt{(-2{,}5)^2 - 4\cdot(-4{,}9)\cdot12}}{2\cdot(-4{,}9)} = \frac{2{,}5\pm\sqrt{6{,}25+235{,}2}}{-9{,}8}.
Selecionando a raiz positiva,
t = \frac{-2{,}5 + \sqrt{241{,}45}}{9{,}8}\approx1{,}33\\ \mathrm{s}.

Passo 4

O alcance horizontal desde a beirada é dado por
x = v_{0x}\,t = 4{,}33\cdot1{,}33\approx5{,}76\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para saber se alguém de 1{,}70\\ \mathrm{m} de altura posicionado 3\\ \mathrm{m} além da beirada corre perigo, achamos a altura do martelo quando x=3\\ \mathrm{m}. O tempo correspondente é
t_x = \frac{3}{v_{0x}} = \frac{3}{4{,}33}\approx0{,}69\\ \mathrm{s}.
Então
y(t_x) = 12 + (-2{,}5)\cdot0{,}69 - 4{,}9\cdot(0{,}69)^2 \approx7{,}9\\ \mathrm{m}.
Como 7{,}9\\ \mathrm{m}\gg1{,}70\\ \mathrm{m}, o martelo passa muito acima da cabeça da pessoa antes de atingir o solo.

Resposta

(a) t\approx1{,}33\\ \mathrm{s}.
(b) x\approx5{,}76\\ \mathrm{m}.
(c) Não, porque ao passar 3\\ \mathrm{m} além da beirada o martelo ainda está a cerca de 7{,}9\\ \mathrm{m} de altura, bem acima de 1{,}70\\ \mathrm{m}.

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