Você pode usar o Teorema de Stokes e o fato de que
para todos os pontos
para concluir que
, para todas as curvas fechadas simples
que não passam na origem? Justifique a resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente tem um campo vetorial
que tem o rotacional igual a zero em todos os pontos, exceto na origem
. A pergunta é: usando o Teorema de Stokes, podemos afirmar que a integral de linha
é igual a zero para qualquer curva fechada simples
que não passa pela origem? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, o Teorema de Stokes e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por
, mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ou “circulação” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero em uma região, isso significa que o campo não tem essa circulação nessa região.
Passo 3
Agora, o Teorema de Stokes é uma ferramenta poderosa na matemática que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como contorno. Em forma de fórmula, é:
Passo 4
A ideia aqui é que, se o rotacional
for zero em toda a superfície
, então a integral de superfície também será zero. Consequentemente, a integral de linha ao redor de
será zero.
Passo 5
No nosso caso, sabemos que
em todos os pontos
. Se a curva
não passa pela origem, podemos escolher uma superfície
que tem
como borda e que também não inclui a origem. Assim, em toda essa superfície
, o rotacional
é zero.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Stokes com essa superfície
, temos:
Resposta
Sim, para todas as curvas fechadas simples
que não passam pela origem, temos
.