Você pode usar o Teorema de Stokes e o fato de que nabla times F=0 para todos os pontos (x, y, z) neq(0,0,0) para concluir que ointC F cdot d r=0, para todas as curvas fechadas simples C que não passam na origem? Justifique a resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema aqui. A gente tem um campo vetorial F que tem o rotacional igual a zero em todos os pontos, exceto na origem (0,0,0). A pergunta é: usando o Teorema de Stokes, podemos afirmar que a integral de linha ointC F cdot dr é igual a zero para qualquer curva fechada simples C que não passa pela origem? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, o Teorema de Stokes e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por nabla times F, mede a tendência de um campo vetorial de “girar” ou “circulação” em torno de um ponto. Se o rotacional for zero em uma região, isso significa que o campo não tem essa circulação nessa região.

Passo 3

Agora, o Teorema de Stokes é uma ferramenta poderosa na matemática que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como contorno. Em forma de fórmula, é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS

Passo 4

A ideia aqui é que, se o rotacional nabla times F for zero em toda a superfície S, então a integral de superfície também será zero. Consequentemente, a integral de linha ao redor de C será zero.

Passo 5

No nosso caso, sabemos que nabla times F = 0 em todos os pontos (x, y, z) neq (0,0,0). Se a curva C não passa pela origem, podemos escolher uma superfície S que tem C como borda e que também não inclui a origem. Assim, em toda essa superfície S, o rotacional nabla times F é zero.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Stokes com essa superfície S, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplaS 0 cdot dS = 0

Resposta

Sim, para todas as curvas fechadas simples C que não passam pela origem, temos ointC F cdot dr = 0.

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