Resolva:
y^prime prime prime-6 y^prime prime+11 y^prime-6 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - 6y'' + 11y' - 6y = 0
e satisfazer as condições iniciais y(0)=2, y'(0)=0 e y''(0)=1. Vamos precisar montar a equação característica, achar as raízes, escrever a solução geral e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada é obtida trocando y^(k) por r^k, o que dá
r^3 - 6r^2 + 11r - 6 = 0

Passo 3

Para fatorar, testamos raízes inteiras. Em r=1 temos
1 - 6 + 11 - 6 = 0
Logo r-1 é fator. Dividindo por r-1 obtemos
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)
Assim as raízes são r=1,2,3 e a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + C3 e^3x

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = C1 e^x + 2C2 e^2x + 3C3 e^3x,
y''(x) = C1 e^x + 4C2 e^2x + 9C3 e^3x

Passo 5

Em x=0 as condições iniciais geram o sistema:
C1 + C2 + C3 = 2, C1 + 2C2 + 3C3 = 0, C1 + 4C2 + 9C3 = 1

Passo 6

Resolvendo o sistema: subtraindo a primeira da segunda e da terceira equação, achamos
C2 + 2C3 = -2 e C2 + 3C3 = tfrac12. Desses,
C3 = tfrac52, depois C2 = -7 e por fim C1 = tfrac132.

Resposta

y(x) = \frac{13}{2}e^x - 7e^{2x} + \frac{5}{2}e^{3x}

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