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2 %$ a.m. Qual seria a taxa de desconto a ser aplicada ao de 90 dias para resultar em um mesmo valor descontado?
a) Desconto Comercial Simples
b) Desconto Comercial Composto
a) Desconto Comercial Simples
b) Desconto Comercial Composto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
- Dois cheques, ambos com valor nominal
. - Um cheque vence em
dias e o outro em dias. - O Banco Alfa oferece desconto para o cheque de prazo mais curto (
dias) a uma taxa de ao mês (ou seja, por mês).
O que o exercício pede: - (a) Na hipótese de Desconto Comercial Simples, qual deve ser a taxa mensal a ser aplicada ao cheque de
dias para que o valor líquido recebido (valor descontado) seja o mesmo do desconto do cheque de dias a a.m.? - (b) Mesma pergunta, agora usando Desconto Comercial Composto (desconto composto), ou seja, taxa mensal que iguale os valores líquidos no caso composto.
Passo 2
Entendendo e aplicando o modelo do Desconto Comercial Simples (explicação e fórmula).
- Conceito: no desconto comercial simples (também chamado de “desconto bancário simples”), o desconto
sobre o valor nominal é proporcional ao tempo e à taxa :
- O valor líquido (ou valor descontado) recebido por quem desconta o título é
- Aqui
é o valor nominal do cheque, é a taxa de desconto por período (aqui por mês) e é o número de períodos (meses) até o vencimento.
Aplicando ao cheque dedias: -
meses (vamos assumir mês de dias padrão financeiro). -
(ou a.m.).
Calcule o valor líquido recebido descontando o cheque dedias:
Agora calcule numericamente:
Logo, quem descontar o cheque de
dias recebe
.
Passo 3
Determinar a taxa mensal
(simples) para o cheque de
dias que gere o mesmo valor líquido.
- Para
dias temos meses.
Queremos. Pela fórmula do desconto simples:
Impondo igualdade com
:
Resolva para
:
Em percentual mensal:
Passo 4
Resumo didático do resultado do item (a) e pequeno comentário
- Interpretação: no desconto simples a redução do valor é linear no tempo. Como o cheque de
dias tem meses, a taxa mensal necessária é tal que vezes essa taxa produza a mesma redução percentual de obtida em meses com a.m. - Resultado exato (simples):
, isto é ao mês.
Passo 5
Entendendo e aplicando o modelo do Desconto Comercial Composto (explicação e fórmula).
- Conceito: no desconto composto (ou desconto racional composto, dependendo da nomenclatura), o valor presente
de um valor nominal que vence em períodos a uma taxa por período é dado por:
- Aqui
é a taxa por período (mensal) e o número de períodos (meses).
Aplicando ao cheque dedias com e :
Calcule aproximado de
:
- Podemos calcular
. Então
(Se alguém for muito rigoroso, o valor é aproximadamente
.)
Passo 6
Determinar a taxa mensal
(composta) para o cheque de
dias que gere o mesmo valor líquido.
- Para
dias temos meses. Queremos
Cancelando
e invertendo:
Logo
Agora aproximamos numericamente. Uma forma prática é usar a expansão para raiz cúbica ou logaritmo; usando cálculo aproximado:
Portanto
Arredondando com precisão razoável:
Passo 7
Comparação rápida e interpretação final (motivação para a prova)
- Observação interessante: a taxa mensal necessária no modelo composto é ligeiramente menor que a do modelo simples (
vs ), porque no regime composto os juros “crescem” sobre juros e, para igualar o valor presente, a taxa mensal pode ser um pouquinho menor. Guarda essa intuição: descontar composto reduz o valor presente menos linearmente, então a taxa que gera o mesmo PV costuma diferir levemente da do desconto simples.
Resposta
(a)
a.m. (ou
a.m.)
(b) a.m.
(b)