Você está precisando de \mathrm{R} \ 600 para pagar uma conta e resolve descontar algum título no banco. Você tem duas opções: um cheque no valor deíêçõ\mathrm{R} $650 , pré-datado para 60 dias, e outro no mesmo valor, mas para 90 dias. O Banco Alfa lhe oferece a possibilidade de descontar o cheque com um prazo mais curto aé2 %$ a.m. Qual seria a taxa de desconto a ser aplicada ao de 90 dias para resultar em um mesmo valor descontado?
a) Desconto Comercial Simples
b) Desconto Comercial Composto

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo pegado do enunciado):
  • Dois cheques, ambos com valor nominal N=\mathrm{R}\$\,650.
  • Um cheque vence em 60 dias e o outro em 90 dias.
  • O Banco Alfa oferece desconto para o cheque de prazo mais curto ( 60 dias) a uma taxa de 2\% ao mês (ou seja, 0,02 por mês).
    O que o exercício pede:
  • (a) Na hipótese de Desconto Comercial Simples, qual deve ser a taxa mensal a ser aplicada ao cheque de 90 dias para que o valor líquido recebido (valor descontado) seja o mesmo do desconto do cheque de 60 dias a 2\% a.m.?
  • (b) Mesma pergunta, agora usando Desconto Comercial Composto (desconto composto), ou seja, taxa mensal que iguale os valores líquidos no caso composto.

Passo 2

Entendendo e aplicando o modelo do Desconto Comercial Simples (explicação e fórmula).
  • Conceito: no desconto comercial simples (também chamado de “desconto bancário simples”), o desconto D sobre o valor nominal N é proporcional ao tempo t e à taxa d:
D = N \cdot d \cdot t.
  • O valor líquido (ou valor descontado) recebido por quem desconta o título é
A = N - D = N(1 - d t).
  • Aqui N é o valor nominal do cheque, d é a taxa de desconto por período (aqui por mês) e t é o número de períodos (meses) até o vencimento.
    Aplicando ao cheque de 60 dias:
  • t_{60}=\dfrac{60}{30}=2 meses (vamos assumir mês de 30 dias padrão financeiro).
  • d_{60}=0,02 (ou 2\% a.m.).
    Calcule o valor líquido recebido descontando o cheque de 60 dias:
A_{60}=N(1-d_{60}t_{60})=650(1-0,02\cdot 2)=650(1-0,04)=650\cdot 0,96.
Agora calcule numericamente:
650\cdot 0,96=624.
Logo, quem descontar o cheque de 60 dias recebe A_{60}=\mathrm{R}\$\,624.

Passo 3

Determinar a taxa mensal d_{90} (simples) para o cheque de 90 dias que gere o mesmo valor líquido.
  • Para 90 dias temos t_{90}=\dfrac{90}{30}=3 meses.
    Queremos A_{90}=A_{60}. Pela fórmula do desconto simples:
A_{90}=N(1-d_{90}t_{90})=650(1-3d_{90}).
Impondo igualdade com A_{60}=624:
650(1-3d_{90})=624.
Resolva para d_{90}:
1-3d_{90}=\frac{624}{650}=0,96,
3d_{90}=1-0,96=0,04,
d_{90}=\frac{0,04}{3}=\frac{4}{300}=0,013\overline{3}.
Em percentual mensal:
d_{90}=0,013\overline{3}=1,3\overline{3}\% \text{ ao mês }=\dfrac{4}{3}\%\text{ a.m.}ê

Passo 4

Resumo didático do resultado do item (a) e pequeno comentário
  • Interpretação: no desconto simples a redução do valor é linear no tempo. Como o cheque de 90 dias tem 3 meses, a taxa mensal necessária é tal que 3 vezes essa taxa produza a mesma redução percentual de 4\% obtida em 2 meses com 2\% a.m.
  • Resultado exato (simples): d_{90}=\dfrac{4}{300}=0,013\overline{3}, isto é \dfrac{4}{3}\% ao mês.

Passo 5

Entendendo e aplicando o modelo do Desconto Comercial Composto (explicação e fórmula).
  • Conceito: no desconto composto (ou desconto racional composto, dependendo da nomenclatura), o valor presente A de um valor nominal N que vence em t períodos a uma taxa i por período é dado por:
A=\frac{N}{(1+i)^t}.
  • Aqui i é a taxa por período (mensal) e t o número de períodos (meses).
    Aplicando ao cheque de 60 dias com i_{60}=0,02 e t_{60}=2:
A_{60}=\frac{650}{(1+0,02)^2}=\frac{650}{1,02^2}=\frac{650}{1,0404}.
Calcule aproximado de A_{60}:
  • Podemos calcular 1,02^2=1,0404. Então
A_{60}\approx\frac{650}{1,0404}\approx 624,75\\ (\text{arredondando a duas casas}).
(Se alguém for muito rigoroso, o valor é aproximadamente 624,75097\ldots.)

Passo 6

Determinar a taxa mensal i_{90} (composta) para o cheque de 90 dias que gere o mesmo valor líquido.
  • Para 90 dias temos t_{90}=3 meses. Queremos
\frac{650}{(1+i_{90})^3}=A_{60}=\frac{650}{1,0404}.
Cancelando 650 e invertendo:
(1+i_{90})^3=1,0404.
Logo
1+i_{90}=(1,0404)^{1/3},
i_{90}=(1,0404)^{1/3}-1.
Agora aproximamos numericamente. Uma forma prática é usar a expansão para raiz cúbica ou logaritmo; usando cálculo aproximado:
(1,0404)^{1/3}\approx 1+ \frac{0,0404}{3}-\frac{(0,0404)^2}{9}+\cdots \approx 1+0,0134667-0,0001813\approx 1,0132854.
Portanto
i_{90}\approx 0,0132854\approx 1,32854\%\\ \text{a.m.}
Arredondando com precisão razoável:
i_{90}\approx 1,329\%\\ \text{ao mês (aprox.)}.ê

Passo 7

Comparação rápida e interpretação final (motivação para a prova)
  • Observação interessante: a taxa mensal necessária no modelo composto é ligeiramente menor que a do modelo simples ( 1,329\% vs 1,333\%), porque no regime composto os juros “crescem” sobre juros e, para igualar o valor presente, a taxa mensal pode ser um pouquinho menor. Guarda essa intuição: descontar composto reduz o valor presente menos linearmente, então a taxa que gera o mesmo PV costuma diferir levemente da do desconto simples.

Resposta

(a) d_{90}=\dfrac{4}{3}\% a.m. (ou 1,333\% a.m.)
(b) i_{90}=(1{,}0404)^{1/3}-1\approx 1{,}329\% a.m.

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