Uma duplicata de valor \mathrm{R} \ 2.000 é descontada com 2 meses de antecipação, gerando um desconto de R\éçã100. Calcule a taxa da operação, sabendo que o critério adotado foi o desconto “por fora”.
a) Desc. Coml. Simples
b) Desc. Coml. Composto

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • Valor nominal (duplicata): N = \text{R}\$\,2{.}000.
  • Desconto gerado: D = \text{R}\$\,100.
  • Antecipação: t = 2 meses.
  • Critério: desconto “por fora” (ou seja, desconto comercial), e pede a taxa da operação nos dois casos: (a) desconto comercial simples e (b) desconto comercial composto.
O que se pede:
  • (a) Calcular a taxa mensal i quando o desconto comercial é simples.
  • (b) Calcular a taxa mensal i quando o desconto comercial é composto.

Passo 2

Explicando o desconto comercial simples (fórmula e significado).
  • No desconto comercial simples (também chamado de desconto bancário simples ou “por fora” simples), o desconto é proporcional ao valor nominal, ao tempo e à taxa, sem capitalização. A fórmula é
D = N \cdot i \cdot t,
onde:
  • D é o desconto (valor retirado do título),
  • N é o valor nominal do título,
  • i é a taxa por período (a achar),
  • t é o número de períodos (aqui, meses).
  • Para encontrar i isolamos:
i = \frac{D}{N \cdot t}.
Esta fórmula vem da proporcionalidade direta: mais tempo ou maior taxa → maior desconto, de forma linear.

Passo 3

Aplicando a fórmula do desconto simples com os números dados.
i = \frac{D}{N \cdot t} = \frac{100}{2000 \cdot 2} = \frac{100}{4000} = 0{,}025.
Convertendo para porcentagem:
i = 0{,}025 = 2{,}5\% \text{ ao mês.}ê
Verificação rápida: o valor recebido (valor presente) seria N - D = 2000 - 100 = \text{R}\$\,1900. Pela fórmula do desconto simples, PV = N(1 - i t) = 2000(1 - 0{,}025\cdot 2) = 2000\cdot 0{,}95 = 1900, bate certinho.

Passo 4

Explicando o desconto comercial composto (fórmula e significado).
  • No desconto comercial composto (desconto “por fora” com capitalização composta), o valor presente PV do título é obtido descontando-se o nominal pela capitalização inversa:
PV = \frac{N}{(1+i)^t}.
  • O desconto efetivo é D = N - PV. Portanto
D = N - \frac{N}{(1+i)^t} = N\left(1 - (1+i)^{-t}\right).
  • Para encontrar a taxa i conhecendo D,N,t isolamos i. Primeiro escrevemos
\frac{N}{(1+i)^t} = N - D.
Dividindo ambos os lados por N:
(1+i)^{-t} = \frac{N - D}{N}.
Invertendo e elevando à potência 1/t:
1+i = \left(\frac{N}{N - D}\right)^{1/t},
logo
i = \left(\frac{N}{N - D}\right)^{1/t} - 1.
Aqui:
  • \frac{N}{N-D} é a razão entre o nominal e o valor líquido recebido,
  • t é o número de períodos (meses), e a raiz de ordem t dá a taxa por período.

Passo 5

Aplicando a fórmula do desconto composto com os números dados.
Primeiro calcule a razão:
\frac{N}{N-D} = \frac{2000}{2000-100} = \frac{2000}{1900} = \frac{20}{19} \approx 1{,}0526315789.
Como t=2 (dois meses),
1+i = \left(\frac{20}{19}\right)^{1/2} = \sqrt{\frac{20}{19}}.
Calculando a raiz:
\sqrt{\frac{20}{19}} \approx 1{,}025976\ldots
Logo
i \approx 1{,}025976 - 1 = 0{,}025976\ldots
Convertendo para porcentagem:
i \approx 0{,}025976 = 2{,}5976\% \text{ ao mês.}ê
Verificação rápida: PV = \dfrac{2000}{1{,}025976^2} \approx 1900, então D \approx 100 — consistente.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova:
  • No desconto simples obtemos i=2{,}5\% ao mês; no composto obtemos uma taxa um pouco maior, i\approx 2{,}5976\% ao mês. Isso faz sentido: no regime composto, o desconto efetivo sobre o valor presente exige uma taxa ligeiramente maior para gerar o mesmo desconto nominal de R\$\,100 em 2 meses.
  • Dica prática: memorizar as fórmulas básicas e, em prova sem calculadora, saber manipular frações e raízes (a raiz quadrada no caso t=2). Se pedirem taxa anual, converta com cuidado (não use multiplicação direta no composto; faça capitalização correta).

Resposta

a) Desc. Coml. Simples: 2{,}5\% ao mês.
b) Desc. Coml. Composto: 2{,}5976\% ao mês (aprox.).

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