Uma duplicata de valor
2.000
100. Calcule a taxa da operação, sabendo que o critério adotado foi o desconto “por fora”.
a) Desc. Coml. Simples
b) Desc. Coml. Composto
a) Desc. Coml. Simples
b) Desc. Coml. Composto
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- Valor nominal (duplicata):
. - Desconto gerado:
. - Antecipação:
meses. - Critério: desconto “por fora” (ou seja, desconto comercial), e pede a taxa da operação nos dois casos: (a) desconto comercial simples e (b) desconto comercial composto.
O que se pede:
- (a) Calcular a taxa mensal
quando o desconto comercial é simples. - (b) Calcular a taxa mensal
quando o desconto comercial é composto.
Passo 2
Explicando o desconto comercial simples (fórmula e significado).
- No desconto comercial simples (também chamado de desconto bancário simples ou “por fora” simples), o desconto é proporcional ao valor nominal, ao tempo e à taxa, sem capitalização. A fórmula é
onde:
-
é o desconto (valor retirado do título), -
é o valor nominal do título, -
é a taxa por período (a achar), -
é o número de períodos (aqui, meses). - Para encontrar
isolamos:
Esta fórmula vem da proporcionalidade direta: mais tempo ou maior taxa → maior desconto, de forma linear.
Passo 3
Aplicando a fórmula do desconto simples com os números dados.
Convertendo para porcentagem:
Verificação rápida: o valor recebido (valor presente) seria
. Pela fórmula do desconto simples,
, bate certinho.
Passo 4
Explicando o desconto comercial composto (fórmula e significado).
- No desconto comercial composto (desconto “por fora” com capitalização composta), o valor presente
do título é obtido descontando-se o nominal pela capitalização inversa:
- O desconto efetivo é
. Portanto
- Para encontrar a taxa
conhecendo isolamos . Primeiro escrevemos
Dividindo ambos os lados por
:
Invertendo e elevando à potência
:
logo
Aqui:
-
é a razão entre o nominal e o valor líquido recebido, -
é o número de períodos (meses), e a raiz de ordem dá a taxa por período.
Passo 5
Aplicando a fórmula do desconto composto com os números dados.
Primeiro calcule a razão:
Primeiro calcule a razão:
Como
(dois meses),
Calculando a raiz:
Logo
Convertendo para porcentagem:
Verificação rápida:
, então
— consistente.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova:
- No desconto simples obtemos
ao mês; no composto obtemos uma taxa um pouco maior, ao mês. Isso faz sentido: no regime composto, o desconto efetivo sobre o valor presente exige uma taxa ligeiramente maior para gerar o mesmo desconto nominal de em 2 meses. - Dica prática: memorizar as fórmulas básicas e, em prova sem calculadora, saber manipular frações e raízes (a raiz quadrada no caso
). Se pedirem taxa anual, converta com cuidado (não use multiplicação direta no composto; faça capitalização correta).
Resposta
a) Desc. Coml. Simples:
ao mês.
b) Desc. Coml. Composto: ao mês (aprox.).
b) Desc. Coml. Composto: