Um título é descontado quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 5 \% ao mês, sendo o valor do desconto racional composto calculado em \mathrm{R} \ 4.310,00 . Marque o valor mais próximo do valor nominal do título. a) \(R \\) 20.000,00
b) \mathrm{R} \ 24.309,00$
c) \mathrm{R} \ 21.550,00$
d) \mathrm{R} \ 25.860,00$
e) \mathrm{R} \ 15.690,00$

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (copiadas do enunciado):
  • O título é descontado 4 meses antes do vencimento.
  • A taxa de desconto é de 5\% ao mês, ou seja i=0,05 por mês.
  • O desconto racional composto (valor do desconto) foi \(R\$ 4.310,00).
    A pergunta é: determinar o valor nominal (face value) do título e marcar a alternativa mais próxima.

Passo 2

Entender o que é “desconto racional composto” (explicação didática).
  • Em desconto racional composto (também chamado desconto “por dentro” ou desconto verdadeiro com capitalização composta) o valor presente P do título é obtido descontando o valor nominal N pela capitalização composta:
P=\frac{N}{(1+i)^{n}},
onde i é a taxa por período e n o número de períodos até o vencimento.
  • O desconto racional composto D é a diferença entre o valor nominal e o valor presente:
D=N-P=N-\frac{N}{(1+i)^{n}}.
Aqui todas as variáveis significam:
  • N: valor nominal (que queremos achar);
  • P: valor presente (valor atual do título depois do desconto);
  • i: taxa por período (aqui i=0,05);
  • n: número de períodos (aqui n=4 meses);
  • D: desconto racional composto (aqui D=R\$ 4.310,00).

Passo 3

Isolar N na fórmula do desconto racional composto.
Partindo de
D=N-\frac{N}{(1+i)^{n}},
fatorando N:
D=N\left(1-\frac{1}{(1+i)^{n}}\right).
Logo
N=\frac{D}{1-\dfrac{1}{(1+i)^{n}}}.
Esta fórmula dá o valor nominal N em função do desconto D, da taxa i e do número de períodos n.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular os fatores.
Temos D=\(R\$ 4.310,00), i=0,05 e n=4. Primeiro calculamos (1+i)^{n}:
1+i=1,05, \qquad (1,05)^{2}=1,1025, \qquad (1,05)^{4}=(1,1025)^{2}=1,21550625.
Portanto
\frac{1}{(1+i)^{n}}=\frac{1}{1,21550625}\approx 0,822702475.
Agora o denominador da fórmula:
1-\frac{1}{(1+i)^{n}}=1-0,822702475\approx 0,177297525.

Passo 5

Calcular N numericamente.
Usando a fórmula isolada:
N=\frac{D}{1-\dfrac{1}{(1+i)^{n}}} =\frac{\(R\$ 4.310,00\)}{0,177297525}.
Fazendo a divisão aproximada:
N\approx \(R\$4.310,00\)\times 5,640430\approx \(R\$ 24.310,25\).
Arredondando para o real mais próximo, o valor nominal estimado é aproximadamente R\$ 24.310,25.

Passo 6

Comparar com as alternativas e escolher a mais próxima.
As alternativas são:
a) R\$ 20.000,00
b) R\$ 24.309,00
c) R\$ 21.550,00
d) R\$ 25.860,00
e) R\$ 15.690,00
O valor calculado R\$24.310,25 é muito próximo de R\$ 24.309,00. Portanto a alternativa correta (a mais próxima) é a letra b).

Resposta

b) R\$ 24.309,00

Exercícios relacionados